determinar os geradores

por vinicius paiva duarte Sex 22 maio 2015, 20:58

Determinar os geradores do núcleo e da imagem da transformação linear T (x,y,z)= (x-2y, x+2y+z, x-2y)

por **Jader** Sáb 23 maio 2015, 12:20

Os elementos to núcleo são todos os elementos que satisfazem a seguinte condição:

Ker(T)={u∈R³ / T(u)=0}

Assim teremos que resolver a seguinte situação:

$(x-2y, x+2y+z, x-2y)=(0,0,0)\\ \left\{\begin{matrix} x-2y =0 \\ x+2y=0 \\ x-2y=0 \end{matrix}\right.$
O que resulta que x=0 e y=0

Logo Ker(t)={0} (Núcleo trivial)

Agora a imagem é dada por Im(T)={v∈R³ / T(v) = (x-2y, x+2y+z, x-2y)}

Portanto, temos que:

$T(x,y,z)=(x-2y, x+2y+z, x-2y)\\ T(x,y,z)=(x,x,x)+(-2y,2y,-2y)+(0,z,0)\\ T(x,y,z)=x(1,1,1)+2(-2,2,-2)+z(0,1,0)\\ \therefore Im(T)=[(1,1,1),(-2,2,-2),(0,1,0)]$

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