Teorema de Clausius

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Mensagem por Vitor Maldonado em Dom 03 Maio 2015, 17:42

Olá pessoal;

A minha duvida é referente á demonstração do teorema de Clausius:
                De acordo com o livro de física básica do autor Moysés Nussenzveig, podemos obter a seguinte relação do ciclo de Carnot:
                Q1 / T1 = Q2 / T2
                Que de acordo com nossa convenção Q>0 (recebe calor) e Q<0 (perde calor), fica:
                Q1 / T1 = - (Q2 / T2)
                Ou seja:
                (Q1 / T1) + (Q2 / T2) = 0
                Para expandir esse resultado para um ciclo qualquer, o autor realizou a subdivisão de partes de um ciclo em duas adiabáticas e uma isoterma:
Teorema de Clausius Image

                O calor trocado no caminho ( i -> a -> b -> f ) corresponde somente ao calor trocado ao longo da isoterma.
                O autor afirmou a existência de uma máquina de Carnot capaz de retirar calor (∆Q´) de uma fonte quente externa (reservatório) á temperatura T0 e fornecer calor residual (∆Q) para o ciclo C á temperatura T variável, mediante o recebimento de trabalho externo.
                Desta forma a relação pode ser escrita como:
(∆Q / T) = - (∆Q´ / T0)
                O que dá:
 
 
∆Q´ = T0 (∆Q / T)
                Se o ciclo for tomado no limite de divisões infinitas:
d´Q = T0 (dQ / T)
                Integrando:
Q´= T0 . integral (dQ/T)
                A partir daí o autor faz as seguintes afirmações, chegando as desigualdades.

Teorema de Clausius Image
 
 
                Vou ser sincero que não compreendi esta parte final após a obtenção da integral, pois se o dispositivo atua como máquina, logo do ponto de vista da própria teríamos que:
                Q´> 0 (máquina recebe calor)
                dQ < 0 (máquina cede calor residual ao ciclo)
                ou seja:
                dQ à -dQ
                0 > integral (dQ/T)   (i)
               
Quando o dispositivo atua como refrigerador:
                Q´< 0   (máquina perde calor para a fonte quente)
                dQ > 0   (Recebe calor da fonte fria)
                o que dá:
                integral (dQ / T) < 0   (ii)
 
                Combinando (i) e (ii):
                Integral (dQ/T) < 0

                O que está errado. Portanto qual o erro que cometi durante minha dedução?

Obrigado pela ajuda.

Vitor Maldonado
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Mensagem por Mimetist em Dom 03 Maio 2015, 18:12

Explicarei de uma maneira alternativa.

Continuando a partir da parte final, chamando dQ_{r} de reservatório e dQ_{s} sistema.

dQ_{r}=\frac{T_{o}dQ_{s}}{T} \iff Q_{r}=\oint \frac{T_{o}dQ_{s}}{T}=T_{o}\oint \frac{dQ_{s}}{T} \leq 0

Ou, simplesmente:

T_{o}\oint \frac{dQ}{T} \leq 0 \iff \oint \frac{dQ}{T} \leq 0

O argumento para essa passagem é que o calor extraído foi convencionado como menor que zero.

Agora, considere que tenhamos uma situação reversível, nesse caso, para a situação inversa haveria a implicação da mudança de sinal dos termos, porém, pela relação acima essa possibilidade está limitada, assim sendo, para uma transformação reversível:

\boxed{\oint \frac{dQ}{T} = 0 }
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