Analise Combinatorio

Na sala de espera de um consultório médico, há 5 cadeiras de frente para a porta de entrada e 5 cadeiras de costas para a referida porta. Entre os 10 pacientes que aguardam fora da sala, 4 preferem se sentar de frente para a porta de entrada, 3 preferem se sentar de costas para a referida porta e, para os demais, não há preferência.
Responda, com justificativa: de quantos modos esses 10 pacientes podem se sentar nessa sala de espera?

Sejam ABCD os pacientes que preferem ficar de frente, D, E, F os que preferem ficar de costas e X, Y, Z os indiferentes

1) As possibilidades para ABCD:

ABCD_
ABC_D
AB_CD
A_BCD
_ABCD

São 5 possibilidades ---> C(5, 4), cada uma delas com 4! para ABCD permutarem entre si e 3 possibilidades para XYZ ocuparem a cadeira vazia

n = C(5, 4).4!.3 = 5.24.3 = 360

2) As possibilidades para DEF

EFG_ _
EF_ G_
EF_ _G
E_FG _
E_F_ G
E_ _FG
_EFG _
_EF_ G
_E_F G
_ _EFG

São 10 possibilidades --> C(5, 3), cada uma delas com 3! para DEF permutarem entre si, restando duas cadeiras vazias para serem ocupadas pelos 2 restantes de XYZ ---> 2! = 2

n' = C(5, 3).3!2! ---> n' = 10.3.2 ---> n' = 60

N = n.n' ---> N = 360.60 ---> N = 21 600

LUCINEIA ROCHA escreveu:Na sala de espera de um consultório médico, há 5 cadeiras de frente para a porta de entrada e 5 cadeiras de costas para a referida porta. Entre os 10 pacientes que aguardam fora da sala, 4 preferem se sentar de frente para a porta de entrada, 3 preferem se sentar de costas para a referida porta e, para os demais, não há preferência.
Responda, com justificativa: de quantos modos esses 10 pacientes podem se sentar nessa sala de espera?

4 preferem sentar de frente para a porta: há 5 modos de escolher o lugar do 1º, 4 do segundo, etc: 5*4*3*2
3 preferem sentar de costas para a porta: 5*4*3
Sobraram 3 cadeiras (1 de frente e 2 de costas) e 3 pacientes que sentam sem preferência: 3*2*1

5*4*3*2*5*4*3*3*2*1 = 43200.