função trigonométrica

por lukassmourafaria Dom 26 Abr 2015, 23:55

A função f(x)=[sen2x.(1/2cosx + 1/2senx)]²-sen2x é definida para todo x real e x diferente Kpi/2 ,
com k inteiro. Nessas condições, pode-se afirmar que:
[A] f(2006) = f(2004) + f(2005).
[B] f(2005) = f(2006) – 2f(2003).
[C] f(2006) = f(2005) + f(2004) + f(2003).
[D] f(2005) = f(2006) – f(2004).
[E] f(2006) = f(2003) + f(2004) – f(2005).

por **Carlos Adir** Seg 27 Abr 2015, 09:01

$\\ f(x)=\left[sen \ 2x \cdot \left(\dfrac{1}{2 \cdot cos \ x}+\dfrac{1}{2 \cdot sen \ x} \right ) \right ]^2-sen \ 2x \\ f(x)=\left[{\color{Red} sen \ 2x} \cdot \left(\dfrac{sen \ x + cos \ x}{{\color{Red} 2 \cdot cos \ x \cdot sen \ x}} \right )\right]^2 - sen \ 2x \\ f(x)= \left[sen \ x + cos \ x \right ]^2 - 2 \cdot cos \ x \cdot sen \ x \\ f(x)={\color{Blue} sen^2 \ x} + {\color{Red} 2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x} + {\color{Blue} cos^2} \ x - {\color{Red} 2 \cdot cos \ x \cdot sen \ x} \\ f(x)={\color{Blue} 1}$
Ou seja:
$f(x)=1 \ \forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{k\pi}{2} \right \}$

Logo, temos que:
$\begin{cases}f(2003)= 1 \\ f(2004)=1 \\ f(2005)=1 \\ f(2006)=1 \end{cases}$
Ou seja, somente a [E] está correta.

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