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[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal

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Mensagem por gabrielnogueira Sáb 18 Abr 2015, 17:56

A figura mostra a secção transversal de um prisma reto de base hexagonal regular deitado  sobre um solo horizontal. Um projétil lançado a partir do solo descreve uma trajetória parabólica que tangencia quatro dos seis vértices da secção transversal hexagonal de lado c. Se a gravidade local vale g, determine:
a) a tangente de Â, onde  é o ângulo de disparo de projétil
b) o alcance horizontal atingido pelo projétil.

[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal Mslxr8_th

a)
:

b)
:
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Mensagem por gabrielnogueira Dom 19 Abr 2015, 15:07

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[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal Empty Re: [DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal

Mensagem por Euclides Dom 19 Abr 2015, 15:45

Eu acho que é uma questão para os "lenhadores" da matemática. Muito trabalhosa, do tipo que eu não gosto.

Fazendo um esboço da figura e usando a geometria do hexágono pode-se equacionar as coordenadas dos pontos de contato em função do lado do hexágono (2L) e do parâmetro u.

Substituindo essas coordenadas na equação da trajetória deve dar para eliminar a incógnita u e equacionar a tangente em função de L.

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Mensagem por gabrielnogueira Dom 19 Abr 2015, 17:31

Obrigado Sr. Euclides, irei analisá-la a partir desses dados.
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Mensagem por gabrielnogueira Dom 19 Abr 2015, 17:32

Qual é esse programa que foi feito o gráfico?
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Mensagem por Euclides Dom 19 Abr 2015, 17:36

gabrielnogueira escreveu:Qual é esse programa que foi feito o gráfico?
Geogebra. Gratuito.

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[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal Empty Re: [DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal

Mensagem por Carlos Adir Dom 19 Abr 2015, 23:06

O lado do hexagono é c.
A origem O=(0, 0)
A altura máxima H=(d/2, h)
A distância máxima D=(d, 0)
O centro do hexágono C=(d/2, c(v3)/2)
Os pontos que interseptam serão P_1, P_2, P_3 e P_4. Tal que:

Seja v a velocidade.
θ o ângulo de lançamento.
g a gravidade.
t_t o tempo total.
Obtemos a figura abaixo:
[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal LVS1Wal
A distância que leva de O até P_1 é dado por t_1, e o tempo de P_1 até P_2 é t_2, e de P_2 até H é t_3.
Temos que, analisando horizontalmente, as seguintes relações:

Temos portanto as relações:


Após algum tempo analisando, e procurando uma resposta elegante, surgiu:
Do problema das gotas, temos que a razão entre a distância vertical de P_1 até P_2 em relação de P_2 até H é equivalente a 3. Isto é:
Verticalmente falando:

Sabemos a altura, e portanto, o tempo de P_2 até H é dado por:

Por outro lado, podemos dizer que:

E então:


Conseguimos achar a tangente. Agora, podemos usar a relação:


Essa relação, observe no tópico abaixo:
Lançamento oblíquo: Uma relação útil


Confesso que deu um bom trabalho essa questão.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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[DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal Empty Re: [DIFÍCIL] Saltando um prisma hexagonal

Mensagem por gabrielnogueira Seg 20 Abr 2015, 19:02

Obrigado Carlos, irei analisar a sua resolução. Valeu mesmo!
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