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Função

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Função Empty Função

Mensagem por victorguerra03 Qui 16 Abr 2015, 21:17

Seja S={1,2,3,4,5} e considere uma função bijetora de S em S, tal que:

I - Se x Função Hvdy5w S, a imagem de x não pode ser igual a x - 1, nem igual a x, nem igual a x + 1.

II - Se x Função Hvdy5w S e a imagem de x é y, então a imagem de y não pode ser nem x, nem x + 1.

Nessas condições, a imagem do número 3 é igual a:

(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
(E)5

Em razão das condições, encontrei os valores 1 e 5 para a imagem do número 3. Pq o gabarito é 5 ? Grato desde já.

victorguerra03
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Função Empty Re: Função

Mensagem por physics Dom 07 Fev 2016, 14:43

Olá.

Função 25tuq88

Função 20hrfh4
     Função Oit9p0

Sendo f bijetora.

Pela condição I, temos:

Função 255tgew

Função Z7jtf

Função 1zcfyo6

Função Qwyqtg

Função 2hg8gfk

Pela condição II, temos: 

Função 2zjkdn7   

Se x for 3, sobram 1 e 5 pelas condições I e II.

Temos que determinar todas as imagens para ver qual gera uma contradição, testemos 1:

x = 3 e y = 1  SATISFAZEM I E II

x = 1 e y = 3 ou 4 ou 5  POR I

Para x = 1 e y = 3  SATISFAZEM I E II

Até agora: 3 gera 1
               1 gera 3
               4 gera 1 ou 2

Se 4 gera 1, a função não será injetora.

Então 4 gera 2
        2 gera 4 ou 5 

Se 2 gerar 4
    5 gera 5 CONTRADIÇÃO por I

Então 2 gera 5
        5 gera 4 CONTRADIÇÃO por I

Então, há um caso que se x = 3 e y = 1 leva à contradição, portanto a imagem de 3 não pode ser 1.
Se testados todos os casos em que a imagem de 3 seja 5 e encontrado, também, um caso que leva à contradição, o enunciado da questão estará equivocado.

Faremos então:
Sendo x = 3 e y = 5 SATISFAZEM I E II

x = 5 e y = 1 ou 2 ou 3 POR I

Para x = 5 e y = 1 SATISFAZEM I E II

Até agora: 3 gera 5
               5 gera 1
               4 gera 2 (porque 1 já foi gerado)
               2 gera 4 (porque 5 já foi gerado)
               1 gera 3 
Sem problemas.

Para x = 5 e y = 2

Teríamos: 3 gera 5
               5 gera 2
               2 gera 4 (5 já foi gerado)
               4 gera 1 (2 já foi gerado)
               1 gera 3
Sem problemas.

Para x = 5 e y = 3

Teríamos: 3 gera 5
               5 gera 3
               2 gera 4 (5 já foi usado)
               4 gera 2 ou 1

Se 4 gerar 2
     1 gera 1 

Se 4 gerar 1
     1 gera 2 CONTRADIÇÃO POR I

Há um caso em que a imagem de 3 sendo 5 leva à contradição.

Acredito, então, que há um problema com a questão.

           
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Função Empty Re: Função

Mensagem por Jose Gutembergue Qua 01 Mar 2017, 23:42

não há contradição, pois f(3) = 1 ou 5, conforme concluído no início por Physics.
Então supondo f(3) = 1, => f-¹(1) = 3;
f(4) = 2 => f-¹(2) = 4
f(5) = 3 => f-¹(3) =5
f(1) = 4 ou 5 , pois não poderia ser 3; f-¹(4) ou f-¹(5) = 1 e
f(2) = 4 ou 5 => f-¹(4) ou f-¹(5) = 2, dessa forma a função não seria bijetora.

Portanto f(3) =5. Ilustrando teremos:
f(1) = 3 => f-¹(3) =1;
f(2) = 4 => f-¹(4) =2;
f(3) = 5 => f-¹(5) =3;
f(4) = 1 => f-¹(1) =4;
f(5) = 2 => f-¹(2) =5.

Gutembergue 01.III.2017

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