área semicírculo

Considere a região mais escura, no interior do semicírculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir:



Se a área dessa região é 24πcm² e AM = MN = NB, então a medida AB, em centímetros, é?
a) 9
b) 12
c) 16
d) 18
e) 24

Com a resolução, gostaria de entender o raciocínio da questão.

gdaros escreveu:Considere a região mais escura, no interior do semicírculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir:



Se a área dessa região é 24πcm² e AM = MN = NB, então a medida AB, em centímetros, é?
a) 9
b) 12
c) 16
d) 18
e) 24

Com a resolução, gostaria de entender o raciocínio da questão.

Boa tarde, gdaros.

A área do senicírculo parcialmente escuro, tem por medida de seu raio:
MN = AB/3

Assim, a área desse semicírculo completo é igual a:
∏r²/2 = (∏.(AB/3)²/2 = ∏.(AB)²/9/2 = ∏.(AB)²/18 ...... (I)

Por outro lado, o raio do pequeno semicírculo claro, interiormente ao semicírculo escuro, deve medir:
AM/2 = AB/6

E a respectiva área:
∏.r²/2 = (∏.(AB/6)²/2 = ∏.(AB)²/36/2 = ∏.(AB)²/72 ... (II)

Por conseguinte, a área da região mais escura deve medir:
(I) - (II) = ∏.(AB)²/18 - ∏(AB)²/72 = 24.∏

Simplificando tudo por ∏, resta-nos:
(I) - (II) = (AB)²/18 - (AB)²/72 = 24

Colocando tudo sobre um mesmo denominador (=mmc(18,72)=72), vem:
(I) - (II) = [4.(AB)² - (AB)²]/72 = 24 → 3.(AB)² = 24*72 = 1728

(AB)² = 1728/3 = 576
AB = √576
AB = 24

Alternativa (e)




Um abraço.

Outro modo (ainda que possam achar-me louco).