Questão Magistério Rio de Janeiro

por Thiagoneto Ter 31 Mar 2015, 11:59

Olá galera, fiz o concurso do estado e tem uma questão que não concordo com o gabarito.
2.sen(2x)=sen(x) com x pertencente a [0, 2pi].
Meu gabarito 2
Gabarito Oficial 5.

Minha solução 2.(2senx.cons) = senx
                     4.senx.cosx=senx
                     4cosx=1
                      cosx=1/4.
Devido estar na primeira volta existe somente 2 valores possíveis para x. Segundo o gabarito seriam 5..

Estou certo? Ou dei mole?

por **Carlos Adir** Ter 31 Mar 2015, 13:12

$\\ 2 \cdot sen \ 2x = sen \ x \Rightarrow 2 \cdot \left(2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x \right )=sen \ x \\ \Rightarrow 4 sen \ x \cdot cos \ x = sen \ x \\ Se \ sen \ x \ne 0 \Rightarrow 4 \cdot cos \ x = 1 \Rightarrow cos \ x = \dfrac{1}{4}$

Portanto, temos 5 respostas:
sen x = 0 ---> 3 solucoes
cos x = 1/4 ---> 2 solucoes.
Isto é, entre [0, 2pi] temos 3 lugares de x que satisfazem sen x=0, que é quando:
x = 0, x = pi, x=2pi
E entre [0, 2pi] temos 2 lugares de x que satisfazem cos x = 1/4, que é quando:
x está no primeiro quadrante, e x está no segundo quadrante.
$\begin{cases}x = 0 \\ x = arccos \ \dfrac{1}{4} \\ x = \pi \\ x = arccos \ \dfrac{1}{4} \\ x = 2\pi \end{cases}$

por **Elcioschin** Ter 31 Mar 2015, 13:25

Thiagoneto

Teu erro foi o seguinte:

4.senx.cosx = senx ---> Nunca divida por senx (você estará eliminando 3 raízes)

O correto a fazer é ---> 4.senx.cosx - senx = 0 ---> senx.(4.cosx - 1) = 0

Temos um produto de dois fatores resultando zero: ou um ou outro ou ambos são nulos:

senx = 0 ---> x = 0, x = pi, x = 2pi

4.cosx - 1 = 0 cosx = 1/4 ---> Duas soluções: uma no 1º e outra no 4º quadrante