Expressão algébrica

por nandofab Seg 30 Mar 2015, 00:40

Sejam x,y e z reais do intervalo [0,1]. Prove que xyz + (1-x)(1-y)(1-z) <=1.

por **Carlos Adir** Seg 30 Mar 2015, 13:28

Temos a desigualdade de Cauchy:
$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 \le (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$

Temos que pela primeira desigualdade:
$xyz+(1-x)(1-y)(1-z)\le 1 \Leftrightarrow xy + xz + yz \le x+y+z$

Assim, utilizando os valores de x, y e z na desigualdade de Cauchy:
$(xy+xz+yz)^2 \le (x^2+y^2+z^2)(z^2+x^2+y^2) \Rightarrow xy+xz+yz \le x^2+y^2+z^2$

Sabemos que x, y e z estão no intervalo [0, 1]. Portanto, temos que:
$\begin{cases}x^2 \le x \\ y^2 \le y \\ z^2 \le z \end{cases} \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \le x+y+z$

Temos então que:
$xy+xz+yz \le x^2+y^2+z^2 \le x+y+z \Rightarrow xy+xz+yz \le x+y+z$

Portanto, provamos que xy + yz + xz <= x + y + z. E consequentemente, é verdadeira a afirmação dada pelo enunciado.

por nandofab Seg 30 Mar 2015, 22:48

Muitíssimo obrigado!!

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