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Mensagem por Renan Phoenix Sex 27 Mar 2015, 14:08

Considere um ponto P(x, y) sobre a circunferência trigonométrica e que não esteja sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja α o ângulo determinado pelo eixo Ox e pela semirreta OP, onde O é a origem do sistema. Nessas condições, assinale o que for correto.

01) A abscissa de P é menor do que cos α.

02) A ordenada de P é igual a sen (α + ∏/2).

04) A tangente de α é determinada pela razão entre a ordenada e a abscissa de P.

08) As coordenadas de P satisfazem à equação x² + y² = 1.

16) Se x = y, então cotg α = -1.

32) α = ∏/4 é o menor arco positivo para o qual a equação cos² (α + ∏) + sen² (α + ∏/2) = cos² (α +  ∏/2) + sen² (α + ∏) é satisfeita.

64) sen (2α) = 2y.

Gabarito: 04, 08 e 32 estão corretas.

Por favor, se possível, expliquem por que as alternativas do gabarito estão corretas e as demais erradas.
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Mensagem por Carlos Adir Sex 27 Mar 2015, 19:56

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01) A abscissa de P é equivalente ao cos α

02) A ordenada de P é igual sen α. Teriamos sen α = sen (α+(∏/2)) se α=∏/4

04) A tangente é sen α / cos α. Como vimos acima, a ordenada de P é sen α, e abscissa de P é cos α. Portanto, tangente é a razão entre a ordenada de P e a abscissa de P.

08) Podemos dizer que P=(cos α, sen α). Temos que o valor de x é cos α, e o valor de y é sen α. Portanto, x²+y² = cos² α + sen²α =1 ---> x²+y²=1

16) Se x=y --> sen α = cos α ---> α = ∏/4 ou 5∏/4. No primeiro caso, temos que cotg α = cos α / sen α = 1 ≠ -1

32) α = ∏/4 ---> cos α = √2 /2 = sen α.
Observando algumas relações no circulo trigonometrico temos:
cos² (α + ∏) = [ - cos α ]² = cos² α
sen² (α + ∏/2) = cos² α
cos² (α + ∏/2) = sen² α
sen² (α + ∏) = [- sen α]² = sen² α
Temos então da equação:
cos² (α + ∏) + sen² (α + ∏/2) =?= cos² (α +  ∏/2) + sen² (α + ∏)
---> cos² α + cos² α =?= sen² α + sen² α
---> 2 cos² α =?= 2 sen² α
---> cos² α =?= sen² α
Da relação de que cos α = sen α, obtemos como verdade.

64) sen (2α) = 2y. Se α = ∏/2 ---> y=1, sen (2 α) = sen( 2 (∏/2)) = sen ∏ = 0.
Temos então um caso em que sen 2α = 2y.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Mensagem por Renan Phoenix Sex 27 Mar 2015, 20:07

Obrigado.
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