OPM-2003
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OPM-2003
por likury 1/3/2015, 7:42 pm
Se a, b e c são reais não nulos satisfazendo:
a²-b²=bc
b²-c²=ac
Prove que:
a²-c²=ab
a²-b²=bc
b²-c²=ac
Prove que:
a²-c²=ab
likury- Iniciante
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Re: OPM-2003
por Convidado 1/3/2015, 8:43 pm
a²-b²=bc
b²-c²=ac --------> c² = b² - ac
a² = ab + c²
a² = bc + b²
ab + c² = bc + b²
c² - b² = bc - ab
c² - b² = b(c - a) (-1)
b² - c² = -b(c - a)
b² - c² = -bc + ab
b² - c² = -(a² - b²) + ab
b² - c² = -a² + b² + ab
-c² = -a² + ab
c² = a² - ab
c² - a² = - ab (-1)
a² - c² = ab
b²-c²=ac --------> c² = b² - ac
a² = ab + c²
a² = bc + b²
ab + c² = bc + b²
c² - b² = bc - ab
c² - b² = b(c - a) (-1)
b² - c² = -b(c - a)
b² - c² = -bc + ab
b² - c² = -(a² - b²) + ab
b² - c² = -a² + b² + ab
-c² = -a² + ab
c² = a² - ab
c² - a² = - ab (-1)
a² - c² = ab
Convidado- Convidado
Re: OPM-2003
por likury 1/3/2015, 8:59 pm
Mas utilizando a equação a²=ab+c² não está assumindo como verdade a equação a²-c²=ab?
likury- Iniciante
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Re: OPM-2003
por Convidado 1/3/2015, 9:28 pm
a²-b²=bc
b²-c²=ac
Somando as duas equações obtemos:
a² - c² = bc + ac
a² - c² = c(a + b)
Agora temos que provar que c(a + b) = ab
a² - b² = bc ---------> (a + b)(a - b) = bc
(a + b)= bc/a - b
c(bc) = ab(a - b)
bc² = ab(a - b)
c² = a(a - b)
c² = a² - ab
c² - a² = - ab
a² - c² = ab
De fato.
b²-c²=ac
Somando as duas equações obtemos:
a² - c² = bc + ac
a² - c² = c(a + b)
Agora temos que provar que c(a + b) = ab
a² - b² = bc ---------> (a + b)(a - b) = bc
(a + b)= bc/a - b
c(bc) = ab(a - b)
bc² = ab(a - b)
c² = a(a - b)
c² = a² - ab
c² - a² = - ab
a² - c² = ab
De fato.
Convidado- Convidado
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