Calcule o valor de x + y

por **Ashitaka** Qui 26 Fev 2015, 22:52

onde [x+√(x²+1)]*[y+√(y²+1)] = p.

por **jango feet** Sex 27 Fev 2015, 21:25

Gabarito?

por **Ashitaka** Sáb 28 Fev 2015, 13:37

(p-1)/Vp

por **Carlos Adir** Sáb 28 Fev 2015, 21:12

$\\ \begin{cases}a=x+\sqrt{x^2+1} \\ b=y+\sqrt{y^2+1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x = \dfrac{a^2-1}{2a} \\ y = \dfrac{b^2-1}{2b} \end{cases} \\ (a+b)-\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} \right )=x+y=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{2p} \\ \Rightarrow \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+b}{2p}$

Temos isto:
$\\ (I) \Rightarrow x+y = \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{a+b}{2p} \\ (II) \Rightarrow \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+b}{2p}$
$(III) \Rightarrow \left(x+y \right )-\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} \right )=-\dfrac{a+b}{p}$
$\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{2p}}{\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+b}{2p}}=\dfrac{p+1}{p-1}$

$\\ (a-b)+(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1})=x-y = \dfrac{a^2-1}{2a}-\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a-b}{2}+\dfrac{a-b}{2p} \\ \Rightarrow \sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}=\dfrac{a-b}{2p}\ - \ \dfrac{a-b}{2} \\ \Rightarrow x-y = \dfrac{a-b}{2}+\dfrac{a-b}{2p}$

Temos então:
$\\ (IV) \Rightarrow x-y = \dfrac{a-b}{2}+\dfrac{a-b}{2p} \\ (V) \Rightarrow \sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}=\dfrac{a-b}{2p}-\dfrac{a-b}{2} \\ (VI) \Rightarrow (x-y)+\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1} \right )=\dfrac{a-b}{2p}$

$\\ (III)+(VI) \Rightarrow x+\dfrac{1}{2a}=\sqrt{y^2+1} \\ (III)-(VI) \Rightarrow y+\dfrac{1}{2b}=\sqrt{x^2+1}$

Não sei se algo ajuda ai.

por Convidado Sáb 28 Fev 2015, 21:30

Só complementando a resposta do Carlos Aldir...
x + y = a² - 1/2a + b² - 1/2b = b(a² - 1) + a(b² - 1) /2ab

ab = P

x + y = ba² - b + ab² - a/2P
x + y = b(a² + P) - (a + b)/2P
x + y = a.ab + P.b - (a + b)/2P
x + y = P.a + P.b - (a + b)/2P
x + y = P(a + b) - (a + b)/2P

x + y =(a + b)(P - 1)/2P
Cheguei aqui...Alguém poderia continuar?

por **jango feet** Seg 02 Mar 2015, 10:18

$x+y=(a+b)(P-1)/2P \Rightarrow x+y=(x+\sqrt{x^2+1}+y+\sqrt{y^2+1} )(P-1)/2P \Rightarrow {\color{Red} (\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1})/x-y=(P-1)/(P+1) }$
Elevando a expressão acima ao quadrado:
$x^2+y^2+2-2\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}=(P-1)^2(x-y)^2/(P+1)^2\Rightarrow 2\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}=x^2+y^2+2-(P-1)^2(x-y)^2/(P+1)^2 \Rightarrow 4(x^2+1)(y^2+1)=x^4+y^4+2x^2y^2+4x^2+4y^2+4\Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4=(P-1)^2(x-y)^2/(P+1)^2\Rightarrow (x^2-y^2)^2=(P-1)^2(x-y)^2/(P+1)^2 \Rightarrow [(x-y)(x+y)]^2=(P-1)^2(x-y)^2/(P+1)^2\Rightarrow x+y=(P-1)/(P+1)$

Caramba, tá barril!

por **Ashitaka** Seg 02 Mar 2015, 11:01

Hahahaa só observando aqui. Dica: tentem por transformação trigonométrica; eu não tive sorte, mas quem sabe vocês têm. Se demorarem demais é capaz do Luck ou Robson aparecerem pra acabar com a festa xD

por **jango feet** Seg 02 Mar 2015, 11:30

Agora saiu:

Usemos o sistema de equações:
$\left\{\begin{matrix} x+1/2a=\sqrt{y^2+1} & \\ y+1/2b=\sqrt{x^2+1} & \end{matrix}\right.$

Manipulando a primeira eq. obtemos:
$2(x+y)(x+\sqrt{x^2+1})=2P-1$

Analogamente para a segunda:
$2(x+y)(y+\sqrt{y^2+1})=2P-1$

Comparando ambas as equações:
$y+\sqrt{y^2+1}=x+\sqrt{x^2+1}$

Logo:
x=y

Sendo assim:
$(x+\sqrt{x^2+1})^2=P\Rightarrow P^2-2P(2x^2+1)+1=0 \Rightarrow \therefore x=y=(P-1)/(2\sqrt{P})\Rightarrow{\color{Red} x+y=(P-1)/\sqrt{P}}$

É essa questão tem cara de sair bem mais fácil por substituição trigonométrica, pena que eu não manjo muito mas agora eu é que deixo a dúvida para vocês, a solução é a mesma para x diferente de y? quer dizer, existe solução para x≠ y? :pirat:

por **Carlos Adir** Seg 02 Mar 2015, 23:01

Uma possível resposta por trigonometria(que parece mais álgebra):

Utilizando alguns valores do tópico abaixo temos:
Identidades trigonométricas

$\\ \begin{cases}x = tan \ \alpha \\ y = tan \ \beta \end{cases} \\ \left[x+\sqrt{x^2+1} \right ]\left[y+\sqrt{y^2+1} \right ]=p \\ \Rightarrow \left[tan \ \alpha + sec \ \alpha \right ]\left[tan \ \beta + sec \ \beta \right ]=p$

$\\ \begin{cases}tan \ \frac{\alpha}{2}=a \\ tan \ \frac{\beta}{2}=b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}tan \ \alpha = \dfrac{2a}{1-a^2} \\ tan \ \beta = \dfrac{2b}{1-b^2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}sec \ \alpha = \dfrac{1+a^2}{1-a^2} \\ sec \ \beta = \dfrac{1+b^2}{1-b^2} \end{cases}$

Então temos:
$\\ p = \left[\dfrac{2a}{1-a^2}+\dfrac{1+a^2}{1-a^2} \right ]\left[\dfrac{2b}{1-b^2}+\dfrac{1+b^2}{1-b^2} \right ]=\dfrac{1+a}{1-a} \times \dfrac{1+b}{1-b} \\ p = {\color{Orange} \left[\dfrac{1+a}{1-a} \right ]\left[\dfrac{1+b}{1-b} \right ]}= {\color{Magenta} \dfrac{2[1-ab]}{[1-a][1-b]}}$

Já a soma x + y temos:
$x + y = tan \ \alpha + tan \ \beta = \dfrac{2a}{1-a^2}+\dfrac{2b}{1-b^2}=2 \left[\dfrac{[a+b][1-ab]}{[1-a^2][1-b^2]} \right ]$

Juntando com o valor de p:
$\\ {\color{Magenta} 2[1-ab]} = p[1-a][1-b] \\ x+y = {\color{Magenta} 2} \times \dfrac{[a+b]{\color{Magenta} [1-ab]}}{[1-a^2][1-b^2]} \\ \Rightarrow x+y = \dfrac{p[a+b][1-a][1-b]}{[1-a][1-b][1+a][1+b]}=\dfrac{p{\color{Red} [a+b]}}{{\color{Green} [1+a][1+b]}}$

Ou por outro lado temos:
$\\ p =\left[\dfrac{1+a}{1-a} \right ]\left[\dfrac{1+b}{1-b} \right ] \Rightarrow \left[1+ab \right ]\left[p-1 \right ]=\left[a+b \right ]\left[p+1 \right ] \\ (I) \Rightarrow {\color{Green} [1+a][1+b]}=p[1-a][1-b] \\ (II) \Rightarrow {\color{Red} [a+b]}=\dfrac{[1+ab][p-1]}{p+1} \\ (III) \Rightarrow {\color{Blue} \dfrac{p-1}{p+1}}=\dfrac{a+b}{1+ab}$

Juntando com o valor da soma encontrado:
$x+y = \dfrac{p{\color{Red} [a+b]}}{{\color{Green} [1+a][1+b]}}=\dfrac{p \times {\color{Red} \dfrac{[1+ab][p-1]}{p+1}}}{{\color{Green} p[1-a][1-b}]}= { \dfrac{p-1}{p+1}} \times \dfrac{1+ab}{[1-a][1-b]}$

$x+y = {\color{Blue} \dfrac{p-1}{p+1}} \times \dfrac{1+ab}{[1-a][1-b]}=\dfrac{a+b}{[1-a][1-b]}$

Encontrei isto dá pra continuar. jango feet mais outra pra você kk

por Luck Ter 03 Mar 2015, 01:28

jango feet escreveu:
É essa questão tem cara de sair bem mais fácil por substituição trigonométrica, pena que eu não manjo muito mas agora eu é que deixo a dúvida para vocês, a solução é a mesma para x diferente de y? quer dizer, existe solução para x≠ y? :pirat:

x + √(x²+1) = y + √(y²+1)
desenvolvendo a partir daí vc vai ver que só existe solução quando x = y :
x - y = √(y²+1) - √(x²+1)
(x-y)² = y² + 1 + x²+1 - 2√((x²+1)(y²+1))
x² + y² - 2xy = x² + y² + 2 -2√((x²+1)(y²+1))
√((x²+1)(y²+1)) = xy + 1
(x²+1)(y²+1) = (xy+1)²
x²y² + x² + y² + 1 = x²y² + 2xy + 1
x² + y² = 2xy
(x-y)² = 0 ∴ x = y