Equilíbrio do ponto e do corpo rígido

por fran_bcg Dom 22 Fev 2015, 22:20

(IME) Uma escada de 4,0m de comprimento está apoiada contra uma parede vertical com a sua extremidade inferior a 2,4m da parede,como mostra a figura.A escada pesa 20 kgf e seu centro de gravidade está localizado no ponto médio.Sabendo que os coeficientes de atrito estático entre a escada e o solo e entre a escada e a parede são,respectivamente 0,5 e 0,2,calcule:
[img:e677]https://2img.net/h/oi61.tinypic.com/t66j3d.jpg[img] Equilíbrio do ponto e do corpo rígido T66j3d

Equilíbrio do ponto e do corpo rígido T66j3d

a) a altura máxima,em relação ao solo,a que um homem de 90 kgf de peso pode subir,sem provocar o escorregamento da escada;
b) a distância máxima da parede a que se pode apoiar a parte inferior da escada vazia,sem provocar escorregamento.

RESPOSTAS:
a)2,37 m
b) 2,97 m

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por **Thálisson C** Seg 23 Fev 2015, 00:43

equilíbrio de forças verticais e horizontais: (o ponto de baixo C, chamarei de B)

$\\F_{at_{c}} + N_{b} = P + 200 \;\; \rightarrow \;\; 0,2N_{c} + N_{b} = P + 200\\\\ N_{c} = F_{at_{b}} \;\; \rightarrow \;\; N_{c} = 0,5N_{b}$

unindo as duas expressões: (P = 900 N)

$\\ 0,2 \cdot 0,5 N_{b} + N_{b} = 1100 \;\; \rightarrow \;\; N_{b} = 1000 \;N$

agora o somatório dos momentos:

$\\\\\sum M=0\\ 900 \cdot d_{1} + 200 \cdot 1,2 + 500 \cdot 3,2 = 1000 \cdot 2,4\\ d_{1} = 0,622\; m$

a altura: (sendo theta o ângulo entre a escada e a parede)

$\\tg\theta = \frac{d_{1}}{h} \;\; \rightarrow \;\; 0,75 = \frac{0,622}{h}\;\; \rightarrow \;\; h = 0,83\; m\\\\ H = 3,2 - 0,83 = 2,37\; m$

por **Thálisson C** Seg 23 Fev 2015, 01:38

ops, faltou a letra B:

equilíbrio de forças: (sem o homem)

$\\N_{b} + F_{at_{c}} = 200 \;\; \rightarrow \;\; N_{b} + 0,2N_{c} = 200\\\\ F_{at_{b}} = N_{c} \;\; \rightarrow \;\; N_{c} = 0,5N_{b}$

união das duas:

$N_{b} + 0,2(0,5N_{b}) = 200\;\; \rightarrow \;\; N_{b} = \frac{200}{1,1}$

e a fatb = 0,5.Nb = 100/1,1

agora a soma dos momentos: sendo d, a distância pedida e h a altura:

$\\\sum M = 0\\ 200 \cdot \frac{d}{2}+ \frac{100h}{1,1} = \frac{200d}{1,1}\;\; \rightarrow \;\; h= 0,9d$

sabendo que o comprimento da barra é 4 m, pelo teorema de pitágoras:

$d^{2} = 4^{2} - h^{2}\;\; \rightarrow \;\; d = \sqrt{16 - (0,9d)^{2}} \;\; \rightarrow \;\; d = 2,97\; m$