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Exercício de introdução a combinatória

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Exercício de introdução a combinatória Empty Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por M.Augusto Dom 08 Fev 2015, 11:52

1) Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas: 

d) Quantos números naturais podem-se formar, com no máximo cinco algarismos distintos? (DÚVIDA)
e) Qual o número máximo de linhas telefônicas uma companhia da área pode fornecer aos moradores de uma cidade cujo código inicial da cidade é 3523 seguidos de 4 dígitos? (EU CONSEGUI RESOLVER)
f) Nessa mesma cidade quantos telefones têm os quatro últimos dígitos iguais? E diferentes entre si? (DÚVIDA)
g) Quantos números de quatro dígitos distintos, exceto os das extremidades que devem ser iguais, podemos formar? . Ex: 3463, 1231, 4764, etc.(DÚVIDA)
h) Quantos números naturais podem ser formados em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos? Palíndromo é uma seqüência formada de modo que os elementos eqüidistantes dos extremos sejam iguais.Exemplo as palavras Ana; anilina; mussum; arara, mirim, mutum, radar, rotor, reter, rever,(DÚVIDA)


Peço encarecidamente que vocês me respondam da forma mais didática possível, mostrando passo a passo o raciocínio correto. xD

Obrigado desde já!!

M.Augusto
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Exercício de introdução a combinatória Empty Re: Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por Mefistófeles Ter 10 Fev 2015, 10:55

Olá M. Augusto, 

sugiro que veja alguns vídeos desse assunto ou algum livro, são questões que aparecem bastante.

Aconselho ainda o livro do Morgado que tem questões bem legais, é um pouco mais aprofundado, porém, bem didático.

d)Primeiro com 1 algarismo, não posso começar , então, há 10 possibilidades, incluindo o zero.

Com 2 algarismos, podemos primeiro usar 9 algarismos, pois não se começa com zero, na segunda opção, podemos usar 9 também, pois agora podemos usar zero, mas não podemos usar o que usamos anteriormente, já que pede-se com algarismos distintos.
Então, fica 9*9=81.
Agora pode fazer isso para os outros.

Por que 9 e depois 9?
Primeiro, podemos usar o 1,2,3... e não o zero, há 9 opções.
Escolhendo um desses números, há então 9 opções para combinar.
Por exemplo, escolho o 1 inicial, depois posso escolher para se combinar com ele 2,3,4,...0 (é a segunda casa, então pode usá-lo agora), só não usa novamente o 1.
12,13...
Vão dar 9 opções para cada número inicial, porém, você faz isso 9 vezes, começa primeiro pelo 1, depois 2, então 3...

f) Iguais, posso somente usar o 3523, então é somente 1 opção, agora os 4 finais, posso usar 10 números iniciais (inclui o zero), porém na outra casa, só posso usar 1, que é o que usei anteriormente, e de novo 1 e depois 1 opção, eles serão todos iguais.
Por exemplo, posso escolher de 1 a 10 na primeira casa depois do prefixo, agora escolhendo-se o 9, só poderei usar o 9 e de novo o 9 e depois o 9.

Então, são 1*10*1*1*1=9

Diferentes, podemos escolher 10 iniciais, depois 9, depois 8, depois 7, já que devem ser distintos, não se usa o anterior.
O prefixo é sempre o mesmo.

10*9*8*7=5040 opções.

g) Há 9 opções iniciais, nunca começamos com zero, há 9 na segunda casa, agora colocamos o zero, há 8 na terceira, na quarta há só uma opção, a mesma que colocamos no começo:
9*9*8*1=648

h) Um palíndromo de 8 algarismos:
11222211
13255231
45899854

São 8 casas agora, podemos repetir à vontade:

São 9 opções no começo, depois são 10, de novo 10 e finalmente 10, nas quatro primeiras. Então na quinta casa, devemos usar o mesmo número da quarta casa, logo, só há uma opção, agora seguimos a mesma ideia para
as outras casas.
9*10*10*10*1*1*1*1

Até mais.

Exercício de introdução a combinatória Sem_t_tulo_1

Mefistófeles
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Exercício de introdução a combinatória Empty Re: Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por M.Augusto Ter 10 Fev 2015, 18:58

Mefistófeles escreveu:Olá M. Augusto, 

sugiro que veja alguns vídeos desse assunto ou algum livro, são questões que aparecem bastante.

Aconselho ainda o livro do Morgado que tem questões bem legais, é um pouco mais aprofundado, porém, bem didático.

d)Primeiro com 1 algarismo, não posso começar , então, há 10 possibilidades, incluindo o zero.

Com 2 algarismos, podemos primeiro usar 9 algarismos, pois não se começa com zero, na segunda opção, podemos usar 9 também, pois agora podemos usar zero, mas não podemos usar o que usamos anteriormente, já que pede-se com algarismos distintos.
Então, fica 9*9=81.
Agora pode fazer isso para os outros.

Por que 9 e depois 9?
Primeiro, podemos usar o 1,2,3... e não o zero, há 9 opções.
Escolhendo um desses números, há então 9 opções para combinar.
Por exemplo, escolho o 1 inicial, depois posso escolher para se combinar com ele 2,3,4,...0 (é a segunda casa, então pode usá-lo agora), só não usa novamente o 1.
12,13...
Vão dar 9 opções para cada número inicial, porém, você faz isso 9 vezes, começa primeiro pelo 1, depois 2, então 3...

f) Iguais, posso somente usar o 3523, então é somente 1 opção, agora os 4 finais, posso usar 10 números iniciais (inclui o zero), porém na outra casa, só posso usar 1, que é o que usei anteriormente, e de novo 1 e depois 1 opção, eles serão todos iguais.
Por exemplo, posso escolher de 1 a 10 na primeira casa depois do prefixo, agora escolhendo-se o 9, só poderei usar o 9 e de novo o 9 e depois o 9.

Então, são 1*10*1*1*1=9

Diferentes, podemos escolher 10 iniciais, depois 9, depois 8, depois 7, já que devem ser distintos, não se usa o anterior.
O prefixo é sempre o mesmo.

10*9*8*7=5040 opções.

g) Há 9 opções iniciais, nunca começamos com zero, há 9 na segunda casa, agora colocamos o zero, há 8 na terceira, na quarta há só uma opção, a mesma que colocamos no começo:
9*9*8*1=648

h) Um palíndromo de 8 algarismos:
11222211
13255231
45899854

São 8 casas agora, podemos repetir à vontade:

São 9 opções no começo, depois são 10, de novo 10 e finalmente 10, nas quatro primeiras. Então na quinta casa, devemos usar o mesmo número da quarta casa, logo, só há uma opção, agora seguimos a mesma ideia para
as outras casas.
9*10*10*10*1*1*1*1

Até mais.

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Primeiramente muito obrigado. Seu exercício "f" está diferenciado do apresentado em meu gabarito, os demais consegui intender seu raciocínio, apesar do problema citado sua ajuda é legítima. Agradeço de coração !! A propósito o gabarito da "f" está assim : iguais 10⋅1⋅1⋅1=10   diferentes = todos - iguais =10.10.10.10 - 10 = 9990

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Mensagem por Mefistófeles Ter 10 Fev 2015, 19:37

Fico feliz que tenha compreendido.
Realmente, eu escrevi 10*1*1*1=9 hehe.
Então, pelo jeito o exercício considerou a sequência 1212, por exemplo, como diferente entre si.
Para fazer todas as opções possíveis é 10*10*10*10, então retiramos somente os que tem 3 em sequência, que são os 10,que fica 10000-10=9990.

Namárië!

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Exercício de introdução a combinatória Empty Re: Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por M.Augusto Ter 10 Fev 2015, 20:26

M.Augusto escreveu:
Mefistófeles escreveu:Olá M. Augusto, 

sugiro que veja alguns vídeos desse assunto ou algum livro, são questões que aparecem bastante.

Aconselho ainda o livro do Morgado que tem questões bem legais, é um pouco mais aprofundado, porém, bem didático.

h) Um palíndromo de 8 algarismos:
11222211
13255231
45899854

São 8 casas agora, podemos repetir à vontade:

São 9 opções no começo, depois são 10, de novo 10 e finalmente 10, nas quatro primeiras. Então na quinta casa, devemos usar o mesmo número da quarta casa, logo, só há uma opção, agora seguimos a mesma ideia para
as outras casas.
9*10*10*10*1*1*1*1

Até mais.

Cara, percebi uma dúvida agora preciso tirar kkk. É a seguinte :
Porque você usou Exercício de introdução a combinatória Gif ?
Eu intendi o problema da seguinte maneira Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B,Exercício de introdução a combinatória Gif.latex?%5Cfrac%7B
Explicação
1º casa qualquer um dos 9 algarismos (excluindo o "0")
2º casa qualquer um dos 10 algarismos (adotando o "0")
3º casa qualquer um dos 10 algarismos (adotando o "0")
4º somente 1 opção já que ele deve ser igual ao da 3 para ser um palíndromo
5º idem ao item 4
6º idem ao item 4
7º somente 1 opção já que ele deve ser igual ao da 1º para ser um palíndromo
8º somente 1 opção já que ele deve ser igual ao da 2º para ser um palíndromo

Desculpe por mais uma vez incomodar 

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Exercício de introdução a combinatória Empty Re: Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por Mefistófeles Ter 10 Fev 2015, 23:50

Olá M. Augusto,

a 4ª casa também tem 10 opções de escolhas, para ser palíndromo, as posições devem ser 1=8,2=7,3=6,4=5.
Então na quarta, eu posso escolher 10, somente na quinta que devo escolher uma, que é igual da quarta.
Por isso 9*10*10*10*1*1*1*1=9*10³.

Namárië!

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Exercício de introdução a combinatória Empty Re: Exercício de introdução a combinatória

Mensagem por M.Augusto Qua 11 Fev 2015, 20:39

Mefistófeles escreveu:Olá M. Augusto,

a 4ª casa também tem 10 opções de escolhas, para ser palíndromo, as posições devem ser 1=8,2=7,3=6,4=5.
Então na quarta, eu posso escolher 10, somente na quinta que devo escolher uma, que é igual da quarta.
Por isso 9*10*10*10*1*1*1*1=9*10³.

Namárië!

Desculpe-me pelo incomodo, mas saiba que me ajudou muito xD


Tópico resolvido !!

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