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Função do 2º grau

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Função do 2º grau  Empty Função do 2º grau

Mensagem por wbao Qui 29 Jan 2015, 17:28

Considere a função quadrática definida por:
f(x)= (3a - 2)x² + 2ax + 3a.
Determine "a" para que a equação f(x)=0 admita uma raiz, e só uma, "entre" -1 e 0.

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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por Carlos Adir Qui 29 Jan 2015, 19:58


Temos que a função terá solução quando ∆≥0, isto é:


O y do vértice será 0, logo:



Agora, se a=0 --> f(x)=-2x² --> x do vértice é 0
Se a=3/4 --> 

Logo, o x do vértice será:


Logo, a=0


Última edição por Carlos Adir em Qui 29 Jan 2015, 20:38, editado 1 vez(es)
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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por Euclides Qui 29 Jan 2015, 20:16

Carlos, se a=3/4

f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}+\frac{9}{4}

cuja única raiz é -3, fora do intervalo  (-1,0)

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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por Carlos Adir Qui 29 Jan 2015, 20:35

Realmente mestre Euclides.
Então a resposta seria a=0, contudo, pelo enunciado fala "entre" -1 e 0. 
Logo, seria um intervalo aberto, assim a resposta não seria válida?



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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por Euclides Qui 29 Jan 2015, 20:54

Estou incerto sobre se o enunciado diz:

"que a função tem apenas uma raiz e que essa raiz está entre -1 e 0"

ou

"que apenas uma das raízes da função está entre -1 e 0"

estou inclinado que acreditar que seja a segunda interpretação pois me parece que a primeira não oferece solução.

um ensaio:

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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por saulocoaster Qui 29 Jan 2015, 22:02

Eu interpretei do seguinte modo: Podemos ter ou 
Usando a comparação de um número com as raízes de uma equação do 2° grau, temos:

I)
Quebrando em partes, vem que:
I.1)


I.2)
a) Logo, a>2/3 ou a<0
b)
c) Logo, a>2/3 ou a<0

Fazendo a interseção de I.1 e I.2, temos vazio. Logo 

II)
Quebrando novamente em partes, temos:
II.1)
d) Logo, a<1/2 ou a>2/3
e)
f)

II.2)


Tirando a interseção, temos: 

Finalmente, como poder ser como um caso ou o outro, vem que:


Essa deu trabalho. O que vocês acham?
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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por Euclides Qui 29 Jan 2015, 22:18

Deu trabalho, interpretou corretamente e o resultado satisfaz as condições.

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Função do 2º grau  Empty Re: Função do 2º grau

Mensagem por wbao Sex 30 Jan 2015, 12:18

Obrigado a todos pela resposta.
saulocoaster, está corretíssima a resposta. Valeu, a todos.

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