Números Comlexos
4 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Números Comlexos
Representando, no plano, as raízes complexas da equação Z^3+8=0, obtém um triângulo. Calcule a área desse triângulo.
Obrigado por responder.
Resposta: S = (4√3)/3
Obrigado por responder.
Resposta: S = (4√3)/3
fernando xavier- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 11/08/2011
Idade : 28
Localização : Recife, Pernambuco
Re: Números Comlexos
Método 1 - Utilizando as fórmulas de Moivre:
z³ + 8 =0
z³ = -8
z³ = 8(cos180º + isen180º) = 8cis180º
∛z³ = ∛8 cis[(180º + 360ºk)/3], para k=0, 1 e 2
k=0 -> z1=2cis60º = 2 (cos60+isen60) = 1 + √3i
k=1 -> z2=2cis180º = -2
k=2 -> z3=2cis300º = 1 - √3i
Método 2
Z é um complexo de forma z = a+bi, onde a e b são números reais
z³ = -8
(a+bi)³ = -8
a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = -8 + 0i
3a²bi - b³i = 0i
b³ - 3a²b = 0
b(b² - 3a²) = 0
b = 0 (I) ou b² = 3a² (II)
a³ - 3ab² = -8
De (I): a³ = -8 -> a =-2
De (II): a³ - 3a(3a²) = -8
a³ - 9a³ = -8
a³ = 1
a=1 (III)
(III) em (II)
b² = 3
b = √3 ou -√3
Soluções (a+bi): {1+√3i; 1-√3i; -2}
O cálculo da área eu deixo com você. Lembre-se que os números reais representam o eixo x e os imaginários o y do plano de Gauss.
z³ + 8 =0
z³ = -8
z³ = 8(cos180º + isen180º) = 8cis180º
∛z³ = ∛8 cis[(180º + 360ºk)/3], para k=0, 1 e 2
k=0 -> z1=2cis60º = 2 (cos60+isen60) = 1 + √3i
k=1 -> z2=2cis180º = -2
k=2 -> z3=2cis300º = 1 - √3i
Método 2
Z é um complexo de forma z = a+bi, onde a e b são números reais
z³ = -8
(a+bi)³ = -8
a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = -8 + 0i
3a²bi - b³i = 0i
b³ - 3a²b = 0
b(b² - 3a²) = 0
b = 0 (I) ou b² = 3a² (II)
a³ - 3ab² = -8
De (I): a³ = -8 -> a =-2
De (II): a³ - 3a(3a²) = -8
a³ - 9a³ = -8
a³ = 1
a=1 (III)
(III) em (II)
b² = 3
b = √3 ou -√3
Soluções (a+bi): {1+√3i; 1-√3i; -2}
O cálculo da área eu deixo com você. Lembre-se que os números reais representam o eixo x e os imaginários o y do plano de Gauss.
Fito42- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 466
Data de inscrição : 04/03/2013
Idade : 27
Localização : Brasil
Não consigo achar a resposta correta.
A parte que compete achar as raízes complexas S= {1+√3i; 1-√3i; -2} eu consigo fazer. Mais a dúvida está em achar a área do triângulo. O resultado não bate. Sei que o triângulo é equilátero inscrito numa circunferência de raio = 2. Usei as propriedades dos pontos notáveis do triângulo equilátero para achar a altura e o lado deste; e por conseguinte, a área. Mas não consigo achar a resposta certa. Alguém me ajuda?
fernando xavier- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 11/08/2011
Idade : 28
Localização : Recife, Pernambuco
Re: Números Comlexos
Fito42 escreveu:Método 1 - Utilizando as fórmulas de Moivre:
z³ + 8 =0
z³ = -8
z³ = 8(cos180º + isen180º) = 8cis180º
∛z³ = ∛8 cis[(180º + 360ºk)/3], para k=0, 1 e 2
k=0 -> z1=2cis60º = 2 (cos60+isen60) = 1 + √3i
k=1 -> z2=2cis180º = -2
k=2 -> z3=2cis300º = 1 - √3i
Método 2
Z é um complexo de forma z = a+bi, onde a e b são números reais
z³ = -8
(a+bi)³ = -8
a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = -8 + 0i
3a²bi - b³i = 0i
b³ - 3a²b = 0
b(b² - 3a²) = 0
b = 0 (I) ou b² = 3a² (II)
a³ - 3ab² = -8
De (I): a³ = -8 -> a =-2
De (II): a³ - 3a(3a²) = -8
a³ - 9a³ = -8
a³ = 1
a=1 (III)
(III) em (II)
b² = 3
b = √3 ou -√3
Soluções (a+bi): {1+√3i; 1-√3i; -2}
O cálculo da área eu deixo com você. Lembre-se que os números reais representam o eixo x e os imaginários o y do plano de Gauss.
A parte que compete achar as raízes complexas S= {1+√3i; 1-√3i; -2} eu consigo fazer. Mais a dúvida está em achar a área do triângulo. O resultado não bate. Sei que o triângulo é equilátero inscrito numa circunferência de raio = 2. Usei as propriedades dos pontos notáveis do triângulo equilátero para achar a altura e o lado deste; e por conseguinte, a área. Mas não consigo achar a resposta certa. Alguém me ajuda?
fernando xavier- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 11/08/2011
Idade : 28
Localização : Recife, Pernambuco
Re: Números Comlexos
Uma dica: utilize a fórmula para calcular a área de um triângulo por meio de seus vértices aplicando o determinante ou ainda: calcule a distância entre quaisquer dois lados e aplique a fórmula da área do triângulo equilátero.
Veja:
A(1,√3), B(1,-√3) --> AB = √[ (-√3-√3)² + (1-1)² ] .:. AB = 2√3
Assim: S = (2√3)²*√3/4 .:. S = 3√3
O gabarito está errado.
Att.,
Pedro
Veja:
A(1,√3), B(1,-√3) --> AB = √[ (-√3-√3)² + (1-1)² ] .:. AB = 2√3
Assim: S = (2√3)²*√3/4 .:. S = 3√3
O gabarito está errado.
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Números Comlexos
Minha contribuição.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Números Comlexos
Foi exatamente assim que resolvi a questão e achei a resposta. Mas esta não correspondia à resposta do gabarito. Mas vejo que o gabarito está errado. Muito obrigado pela ajuda.Medeiros escreveu:Minha contribuição.
fernando xavier- Padawan
- Mensagens : 76
Data de inscrição : 11/08/2011
Idade : 28
Localização : Recife, Pernambuco
Tópicos semelhantes
» [Teoria dos números] Números perfeitos
» Números corteses e a mágica dos números.
» Números triangulares e quadrado de números
» Se a,b,c são números...
» Números inteiros e números racionais
» Números corteses e a mágica dos números.
» Números triangulares e quadrado de números
» Se a,b,c são números...
» Números inteiros e números racionais
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|