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Mensagem por fernando xavier Qui 22 Jan 2015, 13:13

Representando, no plano, as raízes complexas da equação Z^3+8=0, obtém um triângulo. Calcule a área desse triângulo.

Obrigado por responder.

Resposta: S = (4√3)/3

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Mensagem por Fito42 Qui 22 Jan 2015, 13:41

Método 1 - Utilizando as fórmulas de Moivre:
z³ + 8 =0
z³ = -8
z³ = 8(cos180º + isen180º) = 8cis180º
∛z³ = ∛8 cis[(180º + 360ºk)/3], para k=0, 1 e 2
k=0 -> z1=2cis60º = 2 (cos60+isen60) = 1 + √3i
k=1 -> z2=2cis180º = -2
k=2 -> z3=2cis300º = 1 - √3i


Método 2 
Z é um complexo de forma z = a+bi, onde a e b são números reais
z³ = -8
(a+bi)³ = -8
a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = -8 + 0i


3a²bi  - b³i = 0i

b³ - 3a²b = 0


b(b² - 3a²) = 0
b = 0 (I) ou b² = 3a² (II)
a³ - 3ab² = -8
De (I): a³ = -8 -> a =-2
De (II): a³ - 3a(3a²) = -8
a³ - 9a³ = -8
a³ = 1
a=1 (III)
(III) em (II)
b² = 3
b = √3 ou -√3


Soluções (a+bi): {1+√3i; 1-√3i; -2}


O cálculo da área eu deixo com você. Lembre-se que os números reais representam o eixo x e os imaginários o y do plano de Gauss.
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Números Comlexos Empty Não consigo achar a resposta correta.

Mensagem por fernando xavier Sáb 24 Jan 2015, 16:11

A parte que compete achar as raízes complexas S= {1+√3i; 1-√3i; -2} eu consigo fazer. Mais a dúvida está em achar a área do triângulo. O resultado não bate. Sei que o triângulo é equilátero inscrito numa circunferência de raio = 2. Usei as propriedades dos pontos notáveis do triângulo equilátero para achar a altura e o lado deste; e por conseguinte, a área. Mas não consigo achar a resposta certa. Alguém me ajuda?

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Mensagem por fernando xavier Sáb 24 Jan 2015, 16:13

Fito42 escreveu:Método 1 - Utilizando as fórmulas de Moivre:
z³ + 8 =0
z³ = -8
z³ = 8(cos180º + isen180º) = 8cis180º
∛z³ = ∛8 cis[(180º + 360ºk)/3], para k=0, 1 e 2
k=0 -> z1=2cis60º = 2 (cos60+isen60) = 1 + √3i
k=1 -> z2=2cis180º = -2
k=2 -> z3=2cis300º = 1 - √3i


Método 2 
Z é um complexo de forma z = a+bi, onde a e b são números reais
z³ = -8
(a+bi)³ = -8
a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = -8 + 0i


3a²bi  - b³i = 0i

b³ - 3a²b = 0


b(b² - 3a²) = 0
b = 0 (I) ou b² = 3a² (II)
a³ - 3ab² = -8
De (I): a³ = -8 -> a =-2
De (II): a³ - 3a(3a²) = -8
a³ - 9a³ = -8
a³ = 1
a=1 (III)
(III) em (II)
b² = 3
b = √3 ou -√3


Soluções (a+bi): {1+√3i; 1-√3i; -2}


O cálculo da área eu deixo com você. Lembre-se que os números reais representam o eixo x e os imaginários o y do plano de Gauss.


A parte que compete achar as raízes complexas S= {1+√3i; 1-√3i; -2} eu consigo fazer. Mais a dúvida está em achar a área do triângulo. O resultado não bate. Sei que o triângulo é equilátero inscrito numa circunferência de raio = 2. Usei as propriedades dos pontos notáveis do triângulo equilátero para achar a altura e o lado deste; e por conseguinte, a área. Mas não consigo achar a resposta certa. Alguém me ajuda?

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Mensagem por PedroCunha Sáb 24 Jan 2015, 16:23

Uma dica: utilize a fórmula para calcular a área de um triângulo por meio de seus vértices aplicando o determinante ou ainda: calcule a distância entre quaisquer dois lados e aplique a fórmula da área do triângulo equilátero.

Veja:

A(1,√3), B(1,-√3) --> AB = √[ (-√3-√3)² + (1-1)² ] .:. AB = 2√3

Assim: S = (2√3)²*√3/4 .:. S = 3√3 

O gabarito está errado.

Att.,
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Mensagem por Medeiros Sáb 24 Jan 2015, 16:44

Minha contribuição.

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Mensagem por fernando xavier Sáb 24 Jan 2015, 18:30

Medeiros escreveu:Minha contribuição.

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Foi exatamente assim que resolvi a questão e achei a resposta. Mas esta não correspondia à resposta do gabarito. Mas vejo que o gabarito está errado. Muito obrigado pela ajuda.

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