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ITA - geometria espacial

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Mensagem por BiancaSiqueira Seg 29 Dez 2014, 04:46

Considere um ângulo reto AÔB e P um ponto interior deste ângulo que dista de seus lados 3 cm. Passe por P uma reta que intercepte o lado OA num ponto M (M diferente de O) e o lado OB num ponto N; forme o retângulo de lados OM e ON. A razão do volume para a superfície total do sólido gerado pela rotação deste retângulo em torno do lado OA é:

a)3/2

b)1

c)1/2

d)1/3

e)4/3


resp.: A

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Mensagem por Medeiros Seg 29 Dez 2014, 11:02

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Mensagem por Elcioschin Seg 29 Dez 2014, 12:00

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Eu interpretei diferente.
Pelo enunciado deve existir uma ÚNICA reta que passe por P, M e N
E no seu desenho existem duas retas: a reta PM e a reta PN
Esta reta deve cortar o eixo vertical acima do seu ponto M e deve cortar o eixo horizontal à direita do seu ponto N.
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Mensagem por Medeiros Seg 29 Dez 2014, 12:43

Perfeitamemte Élcio, acho que você interpretou corretamente.
Então essa reta única, passanso por P, define o segmento MN que é a diagonal do retângulo MON—. Provavelmente, então, tenhamos o resultado do gabarito.
Ocorre que agora estou no ônibus e apenas com o celular; não tenho como fazer e postar desenhos. Agradeço a quem responder.
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Mensagem por BiancaSiqueira Seg 29 Dez 2014, 14:31

Nesse modo que o Elcioschin interpretou forma um cone de geratriz 6, altura 3√2 e raio 3√2?

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Mensagem por Elcioschin Seg 29 Dez 2014, 15:05

Os pontos M e N podem ser quaisquer. Para facilitar, podemos fazer OM = ON = 6. Neste caso a reta MPN faz 45º com os dois eixos.

O retângulo, neste caso é um quadrado de lado 6 e o sólido gerado é um cilindro de raio r = 6 e altura h = 6

V = pi.r².h ---> V = pi.6².6 ---> V = 216.pi

S = 2.pi.r.h + 2.pi.r² ---> S = 2.pi.6.6 + 2.pi.6² ---> S = 144.pi

V/S = 216/144 ---> V/S = 3/2 ---> Alternativa A
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Mensagem por Medeiros Qua 31 Dez 2014, 02:13

Bianca, 
anteriormente interpretei o enunciado de forma errada e o correto é a forma entendida pelo Elcioschin. No entanto, considerar OM=ON é um caso particular -- se eu fosse fazer numa prova de alternativas, também faria assim pois dá menos trabalho (risco de erro) e mesmo resultado. Apresento abaixo a forma geral de resolução.

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Note que a inclinação do segmento MN define diferentes medidas para OM e ON. Porém não importa qual seja -- e pode até mesmo ser OM=ON, conforme já alertado pelo Elcioschin -- , a relação V/S mantém-se constante. Isto acontece porque o ponto P está sobre a bissetriz do ângulo AÔB. Como a distância de P aos lados é 3, essa relação resulta 3/2; se tal distância fosse p, teríamos V/S = p/2.
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