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Mensagem por Hoshyminiag Sáb 27 Dez 2014, 18:04

Por que (x^3)^670 - 1 é divisível por x² + x + 1 ?

OBS: -1 não faz parte do expoente
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Mensagem por Elcioschin Sáb 27 Dez 2014, 19:31

x² + x + 1 = 0 ---> Raízes: x' = - 1/2 + i.√3/2 e x" = - 1/2 - i.√3/2


x' = cos120º + i.sen120º ---> P(x') = (x')3.670 - 1 ---> P(x') =  (cos120º + i.sen120º)3.670 -  1 --->


P(x') = cos(3.670.120) + i.sen(3.670.120º) ---> P(x') = cos(670.360º) + i.sen(670.360º) ---> P(x') = 1 + 0 - 1 ---> P(x') = 0


Logo, x' é raiz de P(x)


De modo similar prova-se que x" também é raiz de P(x) ---> Logo, P(x) é divisível por x² + x + 1


Sua questão não é do Ensino Fundamental: ela é do Ensino Médio. 
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Mensagem por Hoshyminiag Sáb 27 Dez 2014, 20:32

Mestre Elcio,
Caiu uma questão no Colégio Naval com essa ideia, mas eu não entendi.
http://madematica.blogspot.com.br/2011/07/prova-de-matematica-colegio-naval-2010.html   << questão 2:
Sejam P(x) = 2x^2010 - 5x² - 13x + 7 e q(x) = x² + x + 1. Sendo r(x) o resto de P(x) : Q(x), determine R(2)

Solução:
P(x) = 2 . (x^2010 - 1) - 5x² - 13x + 9
''x^2010 - 1 = (x³)^670 - 1 é divisível por x² + x + 1 uma vez que x³ - 1 = (x-1) . (x² + x + 1)''    <---- Não entendi esse pedaço
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Mensagem por Luck Dom 28 Dez 2014, 23:17

Hoshyminiag escreveu:Mestre Elcio,
Caiu uma questão no Colégio Naval com essa ideia, mas eu não entendi.
http://madematica.blogspot.com.br/2011/07/prova-de-matematica-colegio-naval-2010.html   << questão 2:
Sejam P(x) = 2x^2010 - 5x² - 13x + 7 e q(x) = x² + x + 1. Sendo r(x) o resto de P(x) : Q(x), determine R(2)

Solução:
P(x) = 2 . (x^2010 - 1) - 5x² - 13x + 9
''x^2010 - 1 = (x³)^670 - 1 é divisível por x² + x + 1 uma vez que x³ - 1 = (x-1) . (x² + x + 1)''    <---- Não entendi esse pedaço
Isso vem de congruência linear que tb pode ser aplicada em polinômios, é útil para resolver rapidamente esses tipos de questões. Veja o tópico abaixo (mesma questão):
https://pir2.forumeiros.com/t51538-qual-o-resto-da-divisao-de-x
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Mensagem por Hoshyminiag Dom 28 Dez 2014, 23:33

Consegui entender agora..
Obrigado, mestres
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