Quantidade de possibilidades

Uma bolsa contém 8 moedas de 1 real, 7 moedas de 50 centavos, 4 moedas de 25 centavos e 3 moedas de 10 centavos. De quantos modos diferentes podemos retirar 6 moedas dessa bolsa?

r.: 70

Se forem retiradas 'x' moedas de 1 real, 'y' moedas de 50 centavos, 'z' moedas de 25 centavos e 'w' moedas de 10 centavos, o problema é equivalente a contar o tanto de soluções naturais de
x + y + z + w = 6, com  'x' e 'y' entre 0 e 6, 'z' entre 0 e 4 e 'w' entre 0 e 3.

O número de soluções sem restrições é:
C(n + p - 1; p - 1) = C(9;3) = 84.

Contarei, agora, os casos em que 'z' é 5 ou 6 e 'w' é
4, 5 ou 6.

1) z = 5:
x + y + w = 1 => C(3;2) = 3.

2) z = 6:
x + y + w = 0 => C(2;2) = 1.

3)w = 4:
x + y + z = 2 => C(4;2) = 6.

4)w = 5:
x + y + z = 1 => C(3; 2) = 3.

5)w = 6:
x + y + z = 0 => C(2;2) = 1.

Assim, tem-se 84 - (3 + 1 + 6 + 3 + 1) = 70 maneiras de se fazer a retirada.