Polinômios

(UNESP) Sabe-se que a soma dos n primeiros termos da sucessão ax= x.(x+1), x= 1, 2,... é o polinômio em n de grau 3. Esse polinômio é:

a) (n³/3) - n/3

b) (n³+3n²+2n)/3

c) (n³-3n²+2n)/3


d) 3n³-n


e) n³


Resposta: b

Olá.

\\ \sum_{x=1}^n x \cdot (x+1) = \sum_{x=1}^x x^2 + x = \sum_{x=1}^n x^2 + \sum_{x=1}^n x

Demonstração da soma dos n primeiros quadrados:

(0+1)³= 1³ .:. 0³ + 3*0²*1 + 3*0*1² + 1³ = 1³
(1+1)³ = 2³ .:. 1³ + 3*1²*1 + 3*1*1² + 1³ = 2³
(2+1)³ = 3³ .:. 2³ + 3*2²*1 + 3*2*1² + 1³ = 3³
.
.
.
(n+1)³ = (n+1)³ .:. n³ + 3*n²*1 + 3*n*1² + 1³ = (n+1)³

Somando os termos semelhantes:

(0³+1³+2³+3³+...+n³) + (3*0²*1 + 3*1²*1 + 3*2²*1+3*3²*1+...+3*n²+1) + (3*0*1² + 3*1*1 + 3*2*1 + 3*3*1 + ... + 3*n*1) + (1³+1³+1³+1³+...+1³) = (1³+2³+3³+...+n³ + (n+1)³ ) .:.  3*(1²+2²+3²+...+n²) + 3*(1+2+3+...+n) + (n+1)*1 = (n+1)³ .:. 3S + 3*(1+n)*n/2 + (n+1) = (n+1)³ .:. 6S + 3*(n+1)*n + 2(n+1) = 2(n+1)³ .:. 6S = 2(n+1)³ - 3*(n+1)*n - 2(n+1) .:. 6S = (n+1)*[2(n+1)² - 3n - 2] .:. S = [(n+1)*[(2n²+4n+4-3n-2)]/6 .:. S = [(n+1)*(2n²+n)]/6 .:. S = [(n+1)*n*(2n+1)]/6

A segunda parte do somatório creio que não seja preciso provar (utilizei ela na demonstração acima (parte grifada)).

Logo, a soma pedida é:

\\ \frac{(n+1) \cdot n \cdot (2n+1)}{6} + \frac{n \cdot (n+1)}{2} \therefore S = n \cdot (n+1) \cdot \left( \frac{(2n+1)}{6} + \frac{1}{2} \right) \therefore  \\\\ S = n \cdot (n+1) \cdot  \frac{n+2}{3} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ S = \frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{3} }}

Questão legal.

Att.,
Pedro

Obrigada, PedroCunha!