Distância de um ponto a uma reta

Olá! Estou com dificuldade com esta questão.

Qual é o ponto da reta (r) x= 1 que dista 3 unidades da reta (s) 6x + 8y = 0?

Gabarito:(1,3) ou (1; -4,5)

Alguém poderia me ajudar?

- trace no plano coordenado:

- reta (r): x = 1

- reta (s): 6x + 8y = o -> (s): y = - ( 3/4 )*x


- sejam os ponto A( 1, a ) e B( 1, b ) os pontos que pertencem à reta (r) x = 1 e que distam 3 unidades da reta (s)

y = - ( 3/4 )*x


então:


distância do ponto A( 1, a ) à reta (s):


......( 3/4 )*1 + 1*a .......(3/4) + a........3 + 4a
d = -------------------- = ------------- = ---------
........\/ 25/16.....................5/4...............5


d = 3


( 3 + 4a ) = 15 -> 4a = 12 -> a = 3

A( 1, 3 )


- interseção das retas (r) e (s):

y = - (3/4 )*1 -> y = - 3/4 -> I( 1, - 3/4 )


- distância do ponto A( 1,3 ) ao ponto I( 1, - 3/4 )


como I é médio do segmento AB , então:


d' = 3 + (3/4) = 15/4

- distância do ponto I( 1, - 3/4 ) ao ponto b:

b = ( - 3/4 ) - ( 15/4 ) = - 18/4 = - 9/2 = - 4,5 

B( 1, - 4,5 )

Entendi que pra descobrir o ponto a(1,3) é só fazer a fórmula da distância do ponto à reta, mas não entendi a parte do ponto b(1, -4,5). Por que fazer a intersecção das retas?

Você concorda que o ponto médio do segmento A( 1, a ) e B( 1, b ) é a interseção das retas x = 1 e y = - ( 4/3 )x ?

Se já temos "a" então fica fácil encontrar "b".


Caso não concorde é só avisar.

Desculpe, mas não entendi ainda. Como posso saber que a intersecção é o ponto médio?

Olá Kristeva,

Observe que temos dois triângulos com dois ângulos iguais opostos pelo vértice e um lado igual ( distância à reta ), esses triângulo são congruentes.

Ah, sim! Agora enxerguei, obrigada.

Outro modo

d = |6.1 + 8.a|/(6² + 8²)

3 = |6 + 8.a|/10 ---> |6 + 8a| = 30 ---> Temos duas possibilidades:

1) + (6 + 8.a) = 30 ---> a = 3 ---> P(1; 3)

2) - (6 + 8.a) = 30 ---> a = - 4,5 ---> P'(1; -4,5)

Excelente amigo Elcioschin, simplicidade é tudo.


Um abraço.