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Trigonometria - Arco duplo

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Mensagem por FISMAQUI Qui 06 Nov 2014, 09:51

(UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema abaixo.
Trigonometria - Arco duplo 289v8kj
A altura da torre, em metros, equivale a: 

a) 98
b) 100
c) 102
d) 106
e) 96

Resposta: letra E

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Mensagem por Ashitaka Sex 07 Nov 2014, 20:41

Seja y a distância entre o pé da torre e o ponto ali onde tem o ângulo 4x. E seja h a altura da torre.

Trigonometria - Arco duplo DzGEpCD
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Mensagem por Medeiros Seg 10 Nov 2014, 00:37

outro modo.
somando os ângulos internos dos triângulos,
x + 180º-x + θ = 180º --------> θ = x
2x + 180º-4x + φ = 180º -----> φ = 2x
portanto são isósceles os triângulos de lados 160m e 100m.

Podemos aplicar o teorema de Pitágoras duas vezes. Conforme definido pelo Ashitaka,
y = parte horizontal que falta para chegar à torre;
h = altura da torre.

y² + h² = 100² -----> y² = 100² - h²

(100+y)² + h² = 160²
100² + 200y + y² + h² = 160²
100² + 200y + 100² - h² + h² = 160²
200y = 160² - 2*100²
y = 160*160/200 - 2*100*100/200 = 16*8 - 100 -----> y = 28 m

.:. h² = 100² - 28² -----> h = 96 m
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Mensagem por Ashitaka Seg 10 Nov 2014, 13:36

Medeiros, poderia, por favor, explicitar onde está o θ e φ? Não tenho certeza se estou enxergando no lugar correto...
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Mensagem por Medeiros Qua 12 Nov 2014, 02:05

Ashitaka escreveu:Medeiros, poderia, por favor, explicitar onde está o θ e φ? Não tenho certeza se estou enxergando no lugar correto...
Só não o fiz anteriormente porque a figura não nomeou os pontos permitindo que sirvam referência e, ainda, porque não podia importar e trabalhar com a figura.

Theta e Phi são os ângulos que indicam ser isósceles os dois triângulos à esquerda,  respectivamente a x e a 2x.
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