PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
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PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
Questão do PROFMAT 2015 - Quantos valores inteiros existem para o número k de forma que a equação x^2 - 3x + k = 0 tenha duas raízes reais de sinais contrários e x^2 + kx +1 = 0 não tenha raízes reais?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Eu ainda não sei o gabarito, mas marquei a letra B. Veja se a minha resolução está certa:
x^2 - 3x + k = 0
∆=9 - 4k > 0
k < 9/4
k < 2,25
x^2 +kx+1 = 0
∆ = k^2 -4 < 0
k^2< 4
-2 < k < 2
k=1 k=0 ou k = -1
Testando dos valores de k em cada uma das equações.
Se k = 1 a equação 1 tem como raízes (3+√ 5)/2 e (3-√ 5)/2, que são números positivos e não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Se k=0 a equação 1 tem como raízes 3 e 0, que são números positivos e que também não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Se k = -1 a equação 1 tem como raízes (3+√ 13)/2 e (3-√ 13)/2, que são números de sinais contrários (3,303 e -0,303) e satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Então o único número que satisfaz as condições é o número k = -1
Vocês acham que a solução está correta?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Eu ainda não sei o gabarito, mas marquei a letra B. Veja se a minha resolução está certa:
x^2 - 3x + k = 0
∆=9 - 4k > 0
k < 9/4
k < 2,25
x^2 +kx+1 = 0
∆ = k^2 -4 < 0
k^2< 4
-2 < k < 2
k=1 k=0 ou k = -1
Testando dos valores de k em cada uma das equações.
Se k = 1 a equação 1 tem como raízes (3+√ 5)/2 e (3-√ 5)/2, que são números positivos e não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Se k=0 a equação 1 tem como raízes 3 e 0, que são números positivos e que também não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Se k = -1 a equação 1 tem como raízes (3+√ 13)/2 e (3-√ 13)/2, que são números de sinais contrários (3,303 e -0,303) e satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Então o único número que satisfaz as condições é o número k = -1
Vocês acham que a solução está correta?
Lovely Girl- Iniciante
- Mensagens : 11
Data de inscrição : 03/10/2014
Idade : 34
Localização : Goiânia
Re: PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
Su condição para que a 1ª equação tenha duas raízes reais de sinais contrários está errada
∆ > 0 indica APENAS que existem 2 raízes reais, mas não que sejam necessariamente de sinais opostos
x = [3 ± √(9 - 4k)/2 ---> Devemos ter 3 < √(9 - 4k)
∆ > 0 indica APENAS que existem 2 raízes reais, mas não que sejam necessariamente de sinais opostos
x = [3 ± √(9 - 4k)/2 ---> Devemos ter 3 < √(9 - 4k)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
Mas afinal eu acertei ou errei a questão?
Lovely Girl- Iniciante
- Mensagens : 11
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Localização : Goiânia
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
Elcioschin escreveu:Errou
Oi Elcioschin! Eu acho que não errei não!
Você disse que na 1ª equação 3 < √(9 - 4k) e eu tinha encontrado que na segunda equação -2 < k < 2. Então, entre os valores inteiros -1, 0 e 1, o única que satisfaz a condição imposta por 3 < √(9 - 4k) é o -1.
k = 1
√(9 - 4) = √5 < 3 - não satisfaz a condição
k = 0
√9 = 3 = 3 - não satisfaz a condição
k = -1
√(9 - 4(-1)) = √(9 + 4) = √13 > 3 - satisfaz a condição
E outra coisa: para que as raízes tenham sinais contrários, o produto entre elas precisa ser negativo, pois +vezes+ é + e - vezes - é +. Na equação x^2 - 3x + k = 0
k = x'.x" < 0
Dos valores encontrados, o -1 é o único que se encaixa, pois é negativo.
Se usarmos k=-2 a equação 2 (x^2 +kx+1 = 0) terá solução, o que foge do enunciado.
Lovely Girl- Iniciante
- Mensagens : 11
Data de inscrição : 03/10/2014
Idade : 34
Localização : Goiânia
Re: PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau
Lovely Girl
Desculpe-me, eu não li sua solução com atenção.
Você acabou chegando na resposta certa, mas partiu de uma premissa errada. E com isto deu um grande trabalho para chegar na resposta.
Veja o uso da premissa certa:
3 < √(9 - 4k) ---> 9 < 9 - 4k ---> 0 < - 4k ---> 4k < 0 ---> k < 0
x² + kx + 1 não tem raízes reais ---> k² - 4 < 0 ---> - 2 < k < 2
Valores inteiros de k ---> - 1, 0 1 ---> Como k < 0 ---> k = - 1
Note que nem precisa ficar testando os valores k = 0 e k = 1
Desculpe-me, eu não li sua solução com atenção.
Você acabou chegando na resposta certa, mas partiu de uma premissa errada. E com isto deu um grande trabalho para chegar na resposta.
Veja o uso da premissa certa:
3 < √(9 - 4k) ---> 9 < 9 - 4k ---> 0 < - 4k ---> 4k < 0 ---> k < 0
x² + kx + 1 não tem raízes reais ---> k² - 4 < 0 ---> - 2 < k < 2
Valores inteiros de k ---> - 1, 0 1 ---> Como k < 0 ---> k = - 1
Note que nem precisa ficar testando os valores k = 0 e k = 1
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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