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PROFMAT 2015 - Equação do 2º grau

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Mensagem por Lovely Girl Dom 02 Nov 2014, 20:29

Questão do PROFMAT 2015 - Quantos valores inteiros existem para o número k de forma que a equação x^2 - 3x + k = 0 tenha duas raízes reais de sinais contrários e x^2 + kx +1 = 0 não tenha raízes reais?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Eu ainda não sei o gabarito, mas marquei a letra B. Veja se a minha resolução está certa:

x^2 - 3x + k = 0
=9 - 4k > 0
k < 9/4
k < 2,25

x^2 +kx+1 = 0
 = k^2 -4 < 0
k^2< 4
-2 < k < 2

k=1  k=0 ou k = -1

Testando dos valores de k em cada uma das equações.
Se k = 1 a equação 1 tem como raízes (3+ 5)/2  e  (3- 5)/2, que são números positivos e não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.

Se k=0 a equação 1 tem como raízes 3 e 0, que são números positivos e que também não satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.

Se k = -1 a equação 1 tem como raízes (3+ 13)/2  e  (3- 13)/2, que são números de sinais contrários (3,303 e -0,303) e satisfazem a condição de sinais contrários que o enunciado pede. E a equação 2 não tem raízes reais.
Então o único número que satisfaz as condições é o número k = -1

Vocês acham que a solução está correta?

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Mensagem por Elcioschin Dom 02 Nov 2014, 20:45

Su condição para que a 1ª equação tenha duas raízes reais de sinais contrários está errada

> 0 indica APENAS que existem 2 raízes reais, mas não que sejam necessariamente de sinais opostos

x = [3 ± √(9 - 4k)/2 ---> Devemos ter 3 < √(9 - 4k)
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Mensagem por Lovely Girl Dom 02 Nov 2014, 21:05

Mas afinal eu acertei ou errei a questão?

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Mensagem por Elcioschin Dom 02 Nov 2014, 22:05

Errou
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Mensagem por Lovely Girl Seg 03 Nov 2014, 07:44

Elcioschin escreveu:Errou

Oi Elcioschin! Eu acho que não errei não!
Você disse que na 1ª equação 3 < √(9 - 4k)  e eu tinha encontrado que na segunda equação -2 < k < 2. Então, entre os valores inteiros -1, 0 e 1, o única que satisfaz a condição imposta por 3 < √(9 - 4k) é o -1.

k = 1

√(9 - 4) = √5 < 3 - não satisfaz a condição

k = 0

√9 = 3 = 3 - não satisfaz a condição


k = -1

√(9 - 4(-1)) = √(9 + 4) = √13 > 3 - satisfaz a condição

E outra coisa: para que as raízes tenham sinais contrários, o produto entre elas precisa ser negativo, pois +vezes+ é + e - vezes - é +. Na equação x^2 - 3x + k = 0
k = x'.x" < 0
Dos valores encontrados, o -1 é o único que se encaixa, pois é negativo.
Se usarmos k=-2 a equação 2 (x^2 +kx+1 = 0) terá solução, o que foge do enunciado.

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Mensagem por Elcioschin Seg 03 Nov 2014, 11:02

Lovely Girl

Desculpe-me, eu não li sua solução com atenção.
Você acabou chegando na resposta certa, mas partiu de uma premissa errada. E com isto deu um grande trabalho para chegar na resposta.

Veja o uso da premissa certa:

3 < √(9 - 4k) ---> 9 < 9 - 4k ---> 0 < - 4k ---> 4k < 0 ---> k < 0

x² + kx + 1 não tem raízes reais ---> k² - 4 < 0 ---> - 2 < k < 2

Valores inteiros de k ---> - 1, 0 1 ---> Como k < 0 ---> k = - 1

Note que nem precisa ficar testando os valores k = 0 e k = 1
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