área do triângulo

por PalomaMenezes Qui 30 Out 2014, 16:15

Os pontos A = (− 4, 0), B = (0, 2) e C são vértices de um triângulo.A área do maior triângulo que se pode obter, considerando C um ponto da circunferência de centro na origem e raio r = 5 u.c., é igual, em u.a., a
A) 9 C) 15 E) 21
B) 12 D) 18
Resposta:A

por PedroCunha Qui 30 Out 2014, 23:19

Olá, Paloma.

Circunferência de centro na origem e raio 5 u.c.: \\ x^2+y^2 = 25 \therefore x = \sqrt{25-y^2}

Então, C(\sqrt{25-y^2},y).

Calculando a área do triângulo pelo determinante dos vértices:

\\ S = \frac{\left| \begin{vmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \sqrt{25-y^2} & y & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & 2 \\ \sqrt{25-y^2} & y \end{matrix} \right|}{2} \therefore S = \frac{\left| -8 + 0 + 0 - 2\sqrt{25-y^2} + 4y - 0 \right|}{2} \therefore \\\\ S = \frac{|4y - 2\sqrt{25-y^2} - 8 |}{2}

Devido ao módulo, aquela expressão vai ser máxima quando pudermos maximizar a expressão -2\sqrt{25-y^2} , pois tanto ela quanto -8 tem o mesmo sinal. A expressão é máxima quando y^2 for mínimo, ou seja, quando y = 0 . Então:

\\ S = \frac{|4 \cdot 0 - 2\sqrt{25 - 0} - 8 |}{2} \therefore S = \frac{|-18|}{2} = 9u.a.

Alternativa A.

Att.,
Pedro