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Polinômios

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Mensagem por gabriel.dutra Qua 29 Out 2014, 01:33

Sejam a,b e c números reais e p(x) = 1/3*x³ + ax² + bx + c

a) Determine os valores a,b e c para os quais p(x) - P(x-1) ≡ x²

PS: O livro que tirei este exercício não dá a resposta

Eu cheguei a resposta de que a = 1/2  e b = 1/6, e c eu não consegui.

gabriel.dutra
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Mensagem por PedroCunha Qui 30 Out 2014, 04:18

Olá.

p(x-1) = (x-1)³/3 + a*(x-1)² + b*(x-1) + c .:. 
p(x-1) = (x³ - 3x² + 3x - 1)/3 + a*(x²-2x+1) + b*(x-1) + c .:. 
p(x-1) = (x³-3x²+3x-1 + 3a*(x²-2x+1) + 3b*(x-1) + 3c)/3

No numerador:

x³-3x²+3x-1 + 3ax² - 6ax + 3a + 3bx - 3b + 3c .:. 
x³ + x²*(3a-3) + x*(-6a+3+3) + (3a-3b+3c-1)

Então:

p(x)-p(x-1) ≡ x².:.

(x³ + 3ax² + 3bx + 3c)/3 - (x³ + x²*(3a-3) + x*(-6a+3b+3) + (3a-3b+3c-1))/3 = x² .:.
x²*(3a - 3a + 3) + x*(3b +6a - 3b - 3) + (3c - 3a + 3b - 3c + 1) = 3x² .:. 
x²*(3) + x*(6a-3) + (-3a+3b+1) = 3x² .:. 
x*(6a-3) + (-3a+3b+1) = 0

Logo:

6a-3 = 0 .:. a = 1/2
-3*(1/2) + 3b + 1 = 0 .:. 3b = 3/2 - 1 .:. b = 1/6

c qualquer real

você está certo, Very Happy

Att.,
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Mensagem por gabriel.dutra Sex 31 Out 2014, 18:46

Muito obrigado

gabriel.dutra
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