Encontrar a derivada da função

por neoreload Qui 23 Out 2014, 05:43

Pessoal como encontrar a derivada dessa função:

$f(r)=\sqrt{\frac{r-1}{r+1}}$

Se possível colocar o passo a passo, obrigado ^^ .

por **Elcioschin** Qui 23 Out 2014, 11:45

Derivada do quociente ---> assunto básico: impossível que você não conheça!!!

Faça g(x) = (r - 1)^(1/2) e h(x) = (r + 1)^(1/2)

f(r) = g(r)/h(r) ---> f '(r) = [h(r).g'(r) - g(r).h'(r)]/[h(r)]²

Agora é só fazer contas ---> imagino que você saiba derivar f(x) e g(x)

por neoreload Sáb 01 Nov 2014, 08:35

Elcioschin escreveu:Derivada do quociente ---> assunto básico: impossível que você não conheça!!!

Faça g(x) = (r - 1)^(1/2) e h(x) = (r + 1)^(1/2)

f(r) = g(r)/h(r) ---> f '(r) = [h(r).g'(r) - g(r).h'(r)]/[h(r)]²

Agora é só fazer contas ---> imagino que você saiba derivar f(x) e g(x)

Desculpa eu esqueci de colocar a resposta dela no inicio. Na apostila tem como resposta: $\frac{1}{(r-1)^{\frac{1}{2}}(r+1)^{\frac{3}{2}}}$ . Tentei continuar, mas não consigo chegar nessa resposta, poderia passar o passo a passo? obrigado amigo ^^

por MCarsten Sáb 01 Nov 2014, 14:19

Observe que a fração (r - 1) / (r + 1) é uma função composta. Portanto, chamaremos de u:

$f(r) = \sqrt{\frac{r - 1}{r + 1}} \;\;\to\;\; u = \frac{r - 1}{r + 1}$

Aplique a regra da cadeia:

$f'(r) = \frac{1}{2} u^{\frac{-1}{2}}u'$

Derivando u por regra do quociente:

$u'= \frac{(r + 1) - (r - 1)}{(r + 1)^2}$

$u'= \frac{2}{(r + 1)^2}$

Substituindo:

$f'(r) = \frac{\frac{1}{2} . \frac{2}{(r+1)^2}}{\sqrt{\frac{r - 1}{r + 1}}}$

$f'(r) = \frac{1}{(r + 1)^2}.\sqrt{\frac{r + 1}{r - 1}}$

$f'(r) = \frac{(r + 1)^\frac{1}{2}}{(r + 1)^2.(r - 1)^{\frac{1}{2}}}$

$\boxed{f'(r) = \frac{1}{(r + 1)^\frac{3}{2}.(r - 1)^\frac{1}{2}}}$

por neoreload Dom 02 Nov 2014, 10:07

MCarsten escreveu:Observe que a fração (r - 1) / (r + 1) é uma função composta. Portanto, chamaremos de u:

$f(r) = \sqrt{\frac{r - 1}{r + 1}} \;\;\to\;\; u = \frac{r - 1}{r + 1}$

Aplique a regra da cadeia:

$f'(r) = \frac{1}{2} u^{\frac{-1}{2}}u'$

Derivando u por regra do quociente:

$u'= \frac{(r + 1) - (r - 1)}{(r + 1)^2}$

$u'= \frac{2}{(r + 1)^2}$

Substituindo:

$f'(r) = \frac{\frac{1}{2} . \frac{2}{(r+1)^2}}{\sqrt{\frac{r - 1}{r + 1}}}$

$f'(r) = \frac{1}{(r + 1)^2}.\sqrt{\frac{r + 1}{r - 1}}$

$f'(r) = \frac{(r + 1)^\frac{1}{2}}{(r + 1)^2.(r - 1)^{\frac{1}{2}}}$

$\boxed{f'(r) = \frac{1}{(r + 1)^\frac{3}{2}.(r - 1)^\frac{1}{2}}}$

Consegui entender quase tudo, só n entendi como que na parte $f'(r) = \frac{(r + 1)^\frac{1}{2}}{(r + 1)^2.(r - 1)^{\frac{1}{2}}}$ o $(r+1)^{\frac{1}{2}}$ foi para o denominador e virou $(r+1)^{\frac{3}{2}}$ . Para ele ir para o denominador não teria que ter ser elevado a um numero negativo para ir para o denominador elevado a um numero positivo?

por MCarsten Dom 02 Nov 2014, 14:44

Observe que no antepenúltimo passo eu resolvi a fração multiplicando pelo inverso.

No penúltimo passo, passei todas as expressões com raiz quadrada para a forma de potência (para ficar mais fácil de visualizar). Note então que você ficou com $(r + 1)^\frac{1}{2}$ no numerador e $(r + 1)^2$ no denominador, que está multiplicando $(r - 1)^\frac{1}{2}$ .

Como $(r + 1)^\frac{1}{2}$ e $(r + 1)^2$ possuem a mesma base, porém expoentes distintos, eu subtraí os expoentes. Portanto: 1/2 - 2 = -3/2. Como o expoente é negativo, fica no denominador.