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Mensagem por Maria De Bragança Ter 21 Out 2014, 17:17

Sendo P(x) e Q(x) dois polinômios de grau n≥1 e a um número real qualquer, é correto afirmar que:
a) Se a soma P(a)+Q(a)=0 então a é raiz tanto de P quanto de Q
b)Se a é raiz do polinômio Q então P(x)Q(x)/(x-a) é um polinômio de grau n²-n
c)Se n for par então a soma de P com Q dá um polinômio de grau par
d) o resto da divisão de P por Q deve ser sempre constante já que ambos têm grau n
e) se P(x)=x³+2x²+x+2 e Q(x)=x²+2x+1 então P(x)/Q(x)= x+2 /(x+1)²

Gab.: letra e

Eu gostaria de saber se alguém poderia me explicar alternativa por alternativa... Não consegui sequer atingir o gabarito "e"... por favor, me ajudem! Obrigada!!!!!!!
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Mensagem por Elcioschin Ter 21 Out 2014, 17:33

Os dois polinômios são de grau n

e) P(x) é de grau 3 e Q(x) é de grau 2 ---> não atende o enunciado

Além disso, mesmo que atendesse o gabarito estaria errado:

P(x) = x³ + 2x² + 2x + 2 ---> P(x) = x².(x + 2) + 1.(x + 2) ---> P(x) = (x² + 1).(x + 2)

Q(x) = x² + 2x + 1 ---> Q(x) = (x + 1)²

P(x)/Q(x) = (x² + 1).(x + 2)/(x + 1)² ---> Não confere com o gabarito

a) Se a é raiz de P(x) e Q(x) ---> P(a) = 0 ----> Q(a) = 0 ---> P(a) + Q(a) = 0
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Mensagem por PedroCunha Ter 21 Out 2014, 17:35

Olá.

a:

Falsa.

Se P(a) = 2 e Q(a) = -2 --> P(a)+Q(a) = 0

c:

Falsa.

Grau de P(x)*Q(x) = n²
Grau de P(x)*Q(x)/(x-a) = n²-1

Exemplo:

[x²*(x²-1)]/[x-1] = [x²*(x-1)*(x+1)]/(x-1) = x²*(x+1) = x³+x² --> grau 3 = 2²-1

c:

Falsa

Contra-exemplo:

P(x) = -4x²+3x e Q(x) = 4x²+5x --> P(x)+Q(x) = 8x --> grau 1

d:

Falsa:

Suponha P(x) = 2x²+5x+2 e Q(x) = x²+2x+1. Temos:

 2x²+5x+2             |x²+2x+1
-2x²-4x - 2               2
         x

Ou seja, 2x²+5x+2 = 2*(x²+2x+1) + x --> resto variável

e:

Verdadeira:

P(x) = x³+2x²+x+2 = x*(x²+2x+1) + 2 .:. x*(x+1)² + 2

Q(x) = x²+2x+1 = (x+1)²

P(x)/Q(x) = [x*(x+1)² + 2]/(x+1)² = x + 2/(x+1)²

Att.,
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Mensagem por PedroCunha Ter 21 Out 2014, 17:36

Élcio, concordo em parte com você na letra e. Embora os graus sejam diferentes, de fato, P(x)/Q(x) = x + 2/(x+1)².

Já na letra a, você fez o caminho inverso, assumindo que a era raiz.
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Mensagem por Carlos Adir Ter 21 Out 2014, 17:44

a)Se P(a) + Q(a) equivale a zero, então "a" é a raiz tanto de P quanto de Q. Mas também há a possibilidade de que a soma dos coeficientes se anulam, por exemplo:
P(x) = x³-4x²+3x-10 ; Q(x) = -x³+4x²-3x+10
Veja que 1 não é raiz, mas P(1) + Q(1) = 0

b)Sejam n e m os numeros dos graus dos polinomios P(x) e Q(x) respectivamente. Sendo n>m
Então P(x) + Q(x) dará um polinomio de grau n.
Então P(x) - Q(x) dará um polinômio de grau n.
Então Q(x) - P(x) dará um polinômio de grau n.
Se m=n, então:
P(x)+Q(x) dará um polinomio de grau m ou menor.
Menor, caso os coeficientes se anulem
Por exemplo:
(x³ + 4x² - 3x+4)+(-x³-4x²-3x+4) é um polinomio de grau 1, ao contrário de 3

c) Já dei a resposta acima.

d)O resto da divisão de um polinomio, o grau do resto será sempre menor que o divisor, podendo ser 0.
Por exemplo, um polinomio de grau 5 dividido por grau 3, o resto pode ter grau 2, 1 ou 0. Dependendo dos coeficientes.

e) Se P(x) = x³+2x²+x+2 e Q(x) = x²+2x+1
Podemos reescrever Q(x) como: Q(x)=(x+1)(x+1) --> Q(x)=(x+1)²
Podemos reescrever P(x) como: P(x)=x(x²+2x+1)+2 --> P(x)=x((x+1)(x+1))+2 --> P(x)=x(x+1)²+2

Correta.
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Mensagem por PedroCunha Ter 21 Out 2014, 17:48

Podemos reescrever P(x) como x*(x+1)² + 2 também.

Por isso, podemos escrever P(x)/Q(x) como:

[x(x+1)² + 2]/[(x+1)²] = [x*(x+1)²]/(x+1)² + 2/(x+1)² = x + 2/(x+1)²
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Mensagem por Elcioschin Ter 21 Out 2014, 17:53

Pedro

É tão comum o pessoal esquecer de colocar parênteses que eu achei que o numerador da alternativa e fosse (x + 2) e o correto é 2
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Mensagem por PedroCunha Ter 21 Out 2014, 17:59

É vero, Élcio.

Maria, por favor, preste mais atenção nas postagens; isso evitará confusões por parte dos nossos membros.
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Mensagem por Maria De Bragança Ter 21 Out 2014, 18:39

Pessoal, eu copiei o exercício exatamente igual, conferi inúmeras vezes...
Agora eu percebi que não consegui encontrar o resultado porque considerei x+2 como denominador e não apenas 2 com o x sendo um membro a parte...
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Mensagem por Maria De Bragança Ter 21 Out 2014, 18:53

Muitíssimo obrigada a todos! Desculpa o transtorno...
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