Obra de arte e área de figuras planas

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Obra de arte e área de figuras planas Empty Obra de arte e área de figuras planas

Mensagem por Nina Luizet em Sex 17 Out 2014, 11:03

A obra de arte de um artista é feita da seguinte forma: a partir de um quadrado de área 1m2, traça-se um novo quadrado, ligando os pontos médios do lado do primeiro, depois disso, traça-se um terceiro quadrado, a partir dos pontos médios do segundo. Repetindo-se esse processo infinitamente, obtém-se um resultado parecido com a figura.
Considerando o processo infinito, a área marcada em cinza é, em metros quadrados:

Link da imagem:  Imagem


a) 1/3.  
b) 2/5.
c) 1/2.  
d) 2/3.
e) 4/5
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Mensagem por Carlos Adir em Sex 17 Out 2014, 11:26

Spoiler:
Obra de arte e área de figuras planas A2ps9g

Veja que eu dividi a figura em 12 pedaços iguais, quadrados.
Assim, a área cinza que está nos quadrados vermelhos, corresponde a:
4 quadrados cinzas <--> 12 no total
Então nessa parte temos 1/3 de parte cinza do total assinalado.

Remontando a imagem, obtemos:
Spoiler:
Obra de arte e área de figuras planas 2lmt0tv

Assim, a area cinza tem (1/2 m)x(1/2 m) = 1/4 m²

Se fizermos o mesmo, teremos novamente:

(1/4 m)x(1/4 m) = 1/16 m²

Novamente se fizermos:
(1/8 m)x(1/8 m) = 1/64 m²

Assim, a soma das áreas cinzas será:


Mas sabemos que a soma de uma PG pode ser calculada:


Assim, a soma dos termos:


Logo, se n é um numero extremamente grande, então o diferencial (4^n-1) fica cada vez mais próximo de (4^n) (Dá-se a fazer usando limites, mas não entendo muito bem ainda)
Assim:



Dá pra fazer de cabeça :/ Por exemplo, para cada 8 areas brancas, há 4 areas cinzas, não dependendo do tamanho do quadrado.
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Mensagem por Nina Luizet em Sab 18 Out 2014, 19:28

Obrigada !!
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