Ita 2014

Considere dois satélites artificiais S e T em torno da Terra.
S descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a, e
T, uma órbita circular de raio a, com os respectivos
vetores posição →rS e →rT com origem no centro da Terra. É
correto afirmar que 
a) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por →rS é igual à varrida por →rT. 
b) para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por →rS é maior que a varrida por →rT. 
c) o período de translação de S é igual ao de T. 
d) o período de translação de S é maior que o de T. 
e) se S e T têm a mesma massa, então a energia mecânica
de S é maior que a de T. 


Resolução: http://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/ita/2014/1dia/ITA2014_1dia.pdf


O que eu não entendo é que na primeira lei de Kleper, se a gente faz uma demonstração básica, o raio na Fórmula: R^3/t^2=cte  é o raio momentâneo da órbita. Não conheço a regra que diz que para uma órbita elíptica só conta o semieixo maior de forma que tenha o mesmo período que uma circunferência. Alguém poderia fazer uma demonstração disso para mim?(Pode ser com cálculo) 
O que eu pensei foi que como a elipse tem ponto de maior distância da terra igual ao raio da orbita circular, então em todos os outros momentos o SATÉLITE estará mais próximo da terra se comparado com o que tem orbita circular. Consequentemente ele deveria estar mais rápido em todos os outros instantes que não são seu afélio e portanto teria um período menor completando a volta mais rápido.

Alguém?

Matheus Filipe,

Respondi essa questão em um teste e acertei com a seguinte teoria:

A média das velocidades do satélite S (velocidade máxima) no periélio e no afélio (velocidade mínima) é igual a velocidade circular do satélite T.



Portanto, afirma - se que o período tanto do satélite S quanto do T são iguais.

Mais alguma dúvida?

Ache que não entendia a questão então. Gostaria de uma imagem das orbitas. Pelo que eu estou entendendo a elipse fica completamente dentro do círculo e é tangente interna a ele. Pelo seu raciocínio parece que a elipse passa por fora e por dentro do círculo.

Alguém me entendeu?

Mesma dúvida do amigo aí, se alguém puder dar uma força a entender porque os períodos são iguais, fico grato ; )

De acordo com a 3ª lei de Kepler, para todos os planetas de um mesmo sistema solar, ou para todos os
satélites de um mesmo planeta, a relação entre o período de translação (T) e raio médio da órbita (rm) é
dada pela expressão

Código:

: k=t^2/rm^2

(constante), sendo rm igual à medida do semieixo maior para órbitas elípticas, e, igual ao raio,
para órbitas circulares. Assim, como o semieixo maior da órbita de S é igual ao raio da órbita de T, os
dois satélites têm o mesmo período de translação.