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Polinômio e resto

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Mensagem por Ashitaka Qua 08 Out 2014, 07:58

Um polinômio P de grau n > 1, quando dividido por x-a dá resto R1 e quando dividido por x-b dá resto R2. Sendo a ≠ b, determine o resto da divisão de P por x² - (a+b)x + ab.
Polinômio e resto P0iMSbD
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Mensagem por PedroCunha Qua 08 Out 2014, 09:20

Olá.

Note que (x-a)*(x-b) = x² - (a+b)x + ab

Temos:

P(x) = q(x)*(x-a)*(x-b) + R(x)

onde R(x) é do primeiro grau, tal que R(x) = kx + i. 

Para x = a:

P(a) = R1 .:. k*a + i = R1

Para x = b:

P(b) = R2 .:. k*b + i = R2

Subtraindo a segunda da primeira:

k*(a-b) = R1 - R2 .:. k = (R1-R2)/(a-b)

[(R1-R2)/(a-b)] * a + i = R1 .:. i = [R1a - R1b - R1a + R2a]/(a-b) .:. 
i = (R2a - R1b)/(a-b)

Logo, R(x) = [(R1-R2)/(a-b)]*x + (R2a-R1b)/(a-b)

Abraços,
Pedro
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Mensagem por Carlos Adir Qua 08 Out 2014, 09:50

Haveria resolução utilizando sistema modular?
Consegui:


Mas a resposta não condiz com nenhuma alternativa.
E inclusive a minha resposta não dá um polinômio de grau 1.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Mensagem por Ashitaka Qua 08 Out 2014, 10:24

Pedro, por que considerou que R(x) é do primeiro grau? O que permite afirmar isso?
Carlos, eu não sei aritmética modular o suficiente ainda pra resolver usando isso.
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Mensagem por PedroCunha Qua 08 Out 2014, 11:19

Como (x-a)*(x-b) tem grau 2, R(x) tem no máximo grau 1.
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Mensagem por Ashitaka Qua 08 Out 2014, 11:42

Ah sim, é verdade! Obrigado mais uma vez, abraços!
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Mensagem por Ashitaka Sáb 25 Out 2014, 21:48

PedroCunha escreveu:Olá.

Note que (x-a)*(x-b) = x² - (a+b)x + ab

Temos:

P(x) = q(x)*(x-a)*(x-b) + R(x)

onde R(x) é do primeiro grau, tal que R(x) = kx + i. 

Para x = a:

P(a) = R1 .:. k*a + i = R1

Para x = b:

P(b) = R2 .:. k*b + i = R2

Subtraindo a segunda da primeira:

k*(a-b) = R1 - R2 .:. k = (R1-R2)/(a-b)

[(R1-R2)/(a-b)] * a + i = R1 .:. i = [R1a - R1b - R1a + R2a]/(a-b) .:. 
i = (R2a - R1b)/(a-b)

Logo, R(x) = [(R1-R2)/(a-b)]*x + (R2a-R1b)/(a-b)

Abraços,
Pedro
Pedro, surgiu uma dúvida nesse problema.
Eu não sei se existe "polinômio grau zero" formalmente, mas leia isto como se fosse um número multiplicando x^0.
P/(x-a), o divisor é do 1º grau, o resto tem grau 0.
P/(x-b), o divisor é do 1º grau, o resto tem grau 0.
P/[(x-a)(x-b)], o divisor é do 2º, o resto tem grau 0 ou 1.

"onde R(x) é do primeiro grau, tal que R(x) = kx + i." até aí ok; caso R seja grau 0, teremos k = 0. Mas então foi feito:
P(a) = R1 .:. k*a + i = R1
P(b) = R2 .:. k*b + i = R2

Mas R1 e R2 não tem grau 1. Daí pensei que poderia ter k = 0, mas isso resultaria em:
P(a) = i = R1
P(b) = i = R2
R1 = R2
Mas se R1 = R2, a = b (exceto se for uma função par, creio). E a = b contradiz o enunciado...

Então, k deveria poder ser 0 porque R pode ter grau 0 e porque R1 e R2 precisam ter grau 0, mas ao mesmo tempo não pode ser 0 porque contradiz o enunciado... e agora?
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Mensagem por PedroCunha Sáb 25 Out 2014, 22:25

Não sei se entendi o que você quis dizer, mas como vimos que k é diferente de 0, R(x) não tem grau 0. 

Veja: R(x) tem grau 1 ou grau 0. Um ou o outro. É exclusivo.
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Mensagem por Ashitaka Dom 26 Out 2014, 08:43

Sim, R(x) = R tem grau 1 ou 0; pelo jeito feito, tem grau 1.
Mas R1 e R2 têm grau 0. Só que você os escreveu como se tivessem grau 1:

Para x = a:
P(a) = R1 .:. k*a + i = R1
Para x = b:
P(b) = R2 .:. k*b + i = R2



Se R1 e R2 são grau 0, sendo escritos dessa forma, deveríamos ter k = 0. Mas como você mesmo disse, k difere de zero. Talvez seja algo bem simples, mas não compreendi ainda...
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Mensagem por Luck Dom 26 Out 2014, 11:08

Ashitaka escreveu:Sim, R(x) = R tem grau 1 ou 0; pelo jeito feito, tem grau 1.
Mas R1 e R2 têm grau 0. Só que você os escreveu como se tivessem grau 1:

Para x = a:
P(a) = R1 .:. k*a + i = R1
Para x = b:
P(b) = R2 .:. k*b + i = R2



Se R1 e R2 são grau 0, sendo escritos dessa forma, deveríamos ter k = 0. Mas como você mesmo disse, k difere de zero. Talvez seja algo bem simples, mas não compreendi ainda...
R1 e R2 escrito dessa forma não tem grau 1 , lembre-se que k é uma constante qualquer, a e i também, então ka + i é constante (grau 0 ), o que determina o grau é a variável (x)..
foi postada uma questão quase igual a esta nestes dias:
https://pir2.forumeiros.com/t78500-teorema-do-resto
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