(IME/1987) Números complexos IX
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(IME/1987) Números complexos IX
por medock Ter 23 Set 2014, 13:23
Dois números complexos Z1 e Z2, não nulos, são tais que |Z1 + Z2| = |Z1 - Z2|. Mostre que Z2 / Z1 é imaginário puro.
medock- Jedi
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Re: (IME/1987) Números complexos IX
por Elcioschin Ter 23 Set 2014, 16:55
z1 = a + bi ----> z2 = c + di
|z1 + z2| = |z1 - z2| ----> |a + bi + c + di| = |a + bi - c - di| ---> |(a + c) + (b + d).i| = |(a - c) + (b - d).i| --->
(a + c)² + (b + d)² = (a - c)² + (b - d)² ---> 2ac + 2bd = - 2ac - 2bd ---> ac + bd = 0
z2/z1 = (c + di)/(a + bi) ---> z2/z1 = (c + di).(a - bi)/(a + bi).(a - bi) ---> z2/z1 = [(ac + bd) + (ad - bc).i]/(a² + b²) --->
z2/z1 = [0 + (ad - bc).i]/(a² + b²)----> z2/z1 = [(ad - bc)/(a² + b²)].i ---> Imaginário puro
|z1 + z2| = |z1 - z2| ----> |a + bi + c + di| = |a + bi - c - di| ---> |(a + c) + (b + d).i| = |(a - c) + (b - d).i| --->
(a + c)² + (b + d)² = (a - c)² + (b - d)² ---> 2ac + 2bd = - 2ac - 2bd ---> ac + bd = 0
z2/z1 = (c + di)/(a + bi) ---> z2/z1 = (c + di).(a - bi)/(a + bi).(a - bi) ---> z2/z1 = [(ac + bd) + (ad - bc).i]/(a² + b²) --->
z2/z1 = [0 + (ad - bc).i]/(a² + b²)----> z2/z1 = [(ad - bc)/(a² + b²)].i ---> Imaginário puro
Elcioschin- Grande Mestre
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