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Número de bombons / olimpíada americana

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Número de bombons / olimpíada americana Empty Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por Ashitaka Seg 22 Set 2014, 21:52

16. (Olimpíada Americana) Sete chocolates distintos devem ser distribuídos em três sacolas. A sacola vermelha e a sacola azul devem receber pelo menos um chocolate, enquanto a sacola branca pode eventualmente permanecer vazia. Quantas distribuições deste tipo são possíveis? 

R: 192.
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Número de bombons / olimpíada americana Empty Re: Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por PedroCunha Seg 22 Set 2014, 22:33

Olá, Ashitaka.

A resposta correta é 1932.

O total de maneiras de distribuir os chocolates é 37
O total de maneiras de termos apenas a sacola vermelha vazia é 27. O mesmo para a azul. Por fim, temos apenas uma maneira de ter ambas vazias. Assim, o valor pedido é:

37 - (28 - 1) = 1932

Att.,
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Número de bombons / olimpíada americana Empty Re: Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por Elcioschin Ter 23 Set 2014, 10:54

Parece-me que a solução é mais complexa

Quanto à quantidade de chocolates em cada sacola existem 21 possibilidades:

(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2), (1, 5, 1), (1, 6, 0), (2, 1, 4), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 4, 1), (2, 5, 0), (3, 1, 3), (3, 2, 2), 
(3, 3, 1), (3, 4, 0), (4, 1, 2), (4, 2, 1), (4, 3, 0), (5, 1, 1), (5, 2, 0), (6, 1, 0)

Acontece que os chocolates são distintos,portanto deve-se levar em conta a qualidade dos chocolates. Por exemplo:

1 - 1 - 5 --> 7 possibilidades para a 1ª sacola, 6 possibilidades para a 2ª sacola e 1 possibilidade para a 3ª (os 5 que restaram)

1 - 2 - 4 --> 7 para a 1ª sacola. C(6, 2) para a 2ª sacola e 1 para a 3ª sacola (os 4 que restaram)

2 - 4 - 1 --> C(7,2) para a 1ª sacola, C(6, 4) para a 2ª sacola e 1 para a 3ª sacola (a única que restou)

E assim por diante. O que acham?
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Número de bombons / olimpíada americana Empty Re: Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por PedroCunha Ter 23 Set 2014, 11:28

Élcio, creio que possa ser resolvido simplesmente da maneira que resolvi.

Cada sacola pode receber 7 chocolates. Temos três sacos:

37 maneiras.

Cada sacola tem 27 maneiras de ficar vazia. Porém, nesses casos está incluído o caso em que tanto a sacola vermelha quanto a azul estão vazias. Assim, o valor pedido é:

37 - 2*27 + 1 = 1932

Não estou dizendo que a sua solução está errada, mas creio que ela seja pouco prática.

Ademais, tenho certeza do gabarito.

Abraços,
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Mensagem por Ashitaka Ter 23 Set 2014, 15:08

Agradeço a solução, muito boa, Pedro!
Élcio, acredito que seja possível resolver da maneira como estava fazendo mas seria muito trabalhoso e sujeito a erros.
_________________________________________
Outra solução / modo de pensar
O número total de combinações é igual à soma das possibilidades em que a sacola branca está vazia com as possibilidades em que ela não está vazia.
Vazia: Há 27 modos, mas em 2 deles aparece a caixa vermelha ou azul vazia.
27-2
Não-vazia: Há 37 modos e em 3+3(27-2) = 3*27-3 modos aparece pelo menos uma vazia.
37-(3*27-3)

R: 27-2 + 37-(3*27-3) = 1932
__________________________________________
Essa outra solução não é tão elegante quanto a outra, mas vai só pela forma de pensar xD
Mais uma vez, obrigado. Smile
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Número de bombons / olimpíada americana Empty Re: Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por YagoBB Seg 02 Jan 2017, 16:32

de onde sai esse 2^7 ??

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Número de bombons / olimpíada americana Empty Re: Número de bombons / olimpíada americana

Mensagem por Elcioschin Seg 02 Jan 2017, 19:53

2 sacolas com pelo menos 1 chocolate, dos 7 existentes: 27
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