Movimento relativo em duas dimensões

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Mensagem por martinscairo em Seg 22 Set 2014, 09:00

O navio A está a 4,0km ao norte e 2,5km a leste do navio B. O navio a está viajando com uma velocidade de 22km/h na direção sul, enquanto o navio B está com uma velocidade de 40,0km/h em uma direção 37° ao norte do leste. Em que instante a separação dos navios é mínima? Qual é essa separação mínima?

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Mensagem por Carlos Adir em Seg 22 Set 2014, 11:19

Vejamos, vamos dividir os movimentos:
Adotando como sentido vertical a orientação Norte-Sul, e o sentido horizontal a direção Leste-Oeste
sen(37°) = 0,6; \ cos(37°) = 0,8; \ tan(37°) = 0,75
A velocidade horizontal do navio B: v_b . cos(θ)
40 . 0,8 = 32 km/h 
Velocidade vertical do navio B : v_b . sen(θ)
40 . 0,6 = 24 km/h
Perceba que a distância entre eles é dada por:
Distância vertical: (2,5 - (24+22)t)=(2,5-46t)
Distância horizontal: (4 - 32t)
Assim, a distância real entre eles será:
D= √((Distância horizontal)²+(Distância vertical)²)
D = √((2,5 - 46 t)²+(4-32t)²) = √(3140 t² - 486 t + (89/4))
Veja que temos uma equação de segundo grau. A distância mínima entre eles será apenas uma vez, assim, teremos o valor de t único:
t= -b / (2 a) --> t = 486 / (2. 3140) --> t=(3^5)/3140
Substituindo na equação de D, teremos que será:


Movimento relativo em duas dimensões 14uz9m9
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Mensagem por Elcioschin em Seg 22 Set 2014, 11:28

Carlos Adir

Acho que houve uma inversão no seu desenho: 4 km é a posição vertical (y) do navio A e 2,5 a posição horizontal (x).
Com isto há necessidade de correção nas equações.
Por favor verifique.

Considere o navio B na origem de um sistema xOy : B(0 ; 0) e o navio A em A(2,5 ; 4)

cos37º ~= 0,8 ----> sen37º ~= 0,6

Seja t o tempo decorrido até que a distância entre eles seja mínima. Neste tempo:

a) Distância percorrida por A para o sul ---> dA = 22.t  ---> Nova posição de A ---> A'(2,5 ; 4 - 22.t)

b) Distância percorrida por B nos eixo x ---> dBx = dB.cos37º = 40.t.0,8 = 32.t 

Distância percorrida por B no eixo y ---> dBy = dB.sen37º ---> dBy = 40.t,0,6 = 24.t

Nova posição de B ----> B'(32.t ; 24.t)

Distância d = A'B' ---> d² = (xB' - xA')² + (yB' - yA')² ---> d² = [32.t - 2,5]² + [24.t - (4 - 22.t)]² --->

d² = (32.t - 2,5)² + (46.t - 4)² ---> d² = 1024.t² - 160.t + 6,25 + 2116.t² - 368.t + 16 ---> d² = 3140.t² - 528.t + 22,25

Quando d² for mínimo d será mínimo: no vértice da parábola:

tV = - b/2a ---> tV = - (- 528)/2.3140 ---> Calcule tV (em horas) e transforme em minutos
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Mensagem por Carlos Adir em Seg 22 Set 2014, 12:13

Sim, tens razão. Obrigado pela correção
Spoiler:
Movimento relativo em duas dimensões 2cdbgcp
\\D=\dfrac{13 \sqrt{785}}{1570} \approx 0,232 \ km = 232 \ m\\t=\dfrac{264}{3140} \approx 0,084 \ h = 5 \ min \ e \ 2,4 \ s
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