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Quadrado e circunferência

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Mensagem por augustobueno96 Sáb 20 Set 2014, 15:14

Na figura, as cinco circunferências têm o mesmo raio. Quatro delas são tangentes aos lados do quadrado ABCD e tangente à quinta circunferência centrada nesse quadrado. Portanto, o raio das circunferências vale:
Quadrado e circunferência 33ts303gabarito C
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Mensagem por ivomilton Sáb 20 Set 2014, 15:40

augustobueno96 escreveu:Na figura, as cinco circunferências têm o mesmo raio. Quatro delas são tangentes aos lados do quadrado ABCD e tangente à quinta circunferência centrada nesse quadrado. Portanto, o raio das circunferências vale:
Quadrado e circunferência 33ts303gabarito C
Boa tarde, Augusto.

Diagonalmente, temos:
3*2r + 2*(rѴ2 - r) = 10Ѵ2

Logo, podemos escrever:
6r + 2r(Ѵ2 - 1) = 10Ѵ2
r(6 + 2Ѵ2 - 2) = 10Ѵ2
r(4 + 2Ѵ2) = 10Ѵ2
r = 10Ѵ2/(4+2Ѵ2)

Simplificando tudo por 2, vem:
r = 5Ѵ2/(2+Ѵ2)

Racionalizando o denominador,
r = 5Ѵ2(2-Ѵ2)/(4-2)
r = (10Ѵ2 - 10)/2
r = 10(Ѵ2-1)/2
r = 5(Ѵ2-1)

Alternativa (c)



Um abraço.
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Mensagem por PedroCunha Sáb 20 Set 2014, 15:42

Ivo, poderia me explicar o porquê do \\ 2 \cdot (r\sqrt2 - r) ?

Obrigado.
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Mensagem por augustobueno96 Sáb 20 Set 2014, 15:53

Muito obrigado ivo !

Pedro, pelo que entendi, ele pegou a diagonal do quadrado completo, que é 6r + duas daquelas frestas ali que não sabemos a medida, porém pode-se obtê-las por Pitágoras que dai dá rѴ2 e diminui o r por que é só a fresta que interessa, e multiplica por 2 pois há 2 frestas numa diagonal inteira dessa quadrado
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Mensagem por PedroCunha Sáb 20 Set 2014, 16:02

Ahh..entendi.

Valeu!
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Mensagem por ivomilton Sáb 20 Set 2014, 16:37

PedroCunha escreveu:Ivo, poderia me explicar o porquê do \\ 2 \cdot (r\sqrt2 - r) ?

Obrigado.
Boa tarde, Pedro.

Diagonalmente, temos:
3*2r + 2*(rѴ2 - r) = 10Ѵ2


Na diagonal do quadrado temos, além dos 3 círculos completos, os dois cantinhos (um em cada extremidade da diagonal).

Analisando o círculo que se encontra na extremidade superior da digonal, divida esse círculo em 4 partes, traçando seus diâmetros vertical e horizontal.

A seguir, atenta para o quadrante superior esquerdo, aquele que contém o cantinho, e
trace nesse quadrante a diagonal que parte do cantinho e vai até o centro do círculo.

Essa diagonal tem rѴ2 por medida, chamando de r o raio do referido círculo.

Logo, a distância que vai do círculo até o canto do quadrado mede, obviamente, rѴ2 - r.

Espero tenha ficado claro para o amigo.



Um abraço.
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Mensagem por PedroCunha Sáb 20 Set 2014, 17:06

Ficou sim.

Muito obrigado, mestre Ivo!
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Mensagem por raimundo pereira Sáb 20 Set 2014, 20:12

Outro modo.
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