Quadrado e circunferência
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Quadrado e circunferência
Na figura, as cinco circunferências têm o mesmo raio. Quatro delas são tangentes aos lados do quadrado ABCD e tangente à quinta circunferência centrada nesse quadrado. Portanto, o raio das circunferências vale:
gabarito C
gabarito C
augustobueno96- Iniciante
- Mensagens : 38
Data de inscrição : 02/10/2012
Idade : 28
Localização : santa maria, rio grande do sul, Brasil
Re: Quadrado e circunferência
Boa tarde, Augusto.augustobueno96 escreveu:Na figura, as cinco circunferências têm o mesmo raio. Quatro delas são tangentes aos lados do quadrado ABCD e tangente à quinta circunferência centrada nesse quadrado. Portanto, o raio das circunferências vale:
gabarito C
Diagonalmente, temos:
3*2r + 2*(rѴ2 - r) = 10Ѵ2
Logo, podemos escrever:
6r + 2r(Ѵ2 - 1) = 10Ѵ2
r(6 + 2Ѵ2 - 2) = 10Ѵ2
r(4 + 2Ѵ2) = 10Ѵ2
r = 10Ѵ2/(4+2Ѵ2)
Simplificando tudo por 2, vem:
r = 5Ѵ2/(2+Ѵ2)
Racionalizando o denominador,
r = 5Ѵ2(2-Ѵ2)/(4-2)
r = (10Ѵ2 - 10)/2
r = 10(Ѵ2-1)/2
r = 5(Ѵ2-1)
Alternativa (c)
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
Re: Quadrado e circunferência
Ivo, poderia me explicar o porquê do \\ 2 \cdot (r\sqrt2 - r) ?
Obrigado.
Obrigado.
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Quadrado e circunferência
Muito obrigado ivo !
Pedro, pelo que entendi, ele pegou a diagonal do quadrado completo, que é 6r + duas daquelas frestas ali que não sabemos a medida, porém pode-se obtê-las por Pitágoras que dai dá rѴ2 e diminui o r por que é só a fresta que interessa, e multiplica por 2 pois há 2 frestas numa diagonal inteira dessa quadrado
Pedro, pelo que entendi, ele pegou a diagonal do quadrado completo, que é 6r + duas daquelas frestas ali que não sabemos a medida, porém pode-se obtê-las por Pitágoras que dai dá rѴ2 e diminui o r por que é só a fresta que interessa, e multiplica por 2 pois há 2 frestas numa diagonal inteira dessa quadrado
augustobueno96- Iniciante
- Mensagens : 38
Data de inscrição : 02/10/2012
Idade : 28
Localização : santa maria, rio grande do sul, Brasil
Re: Quadrado e circunferência
Ahh..entendi.
Valeu!
Valeu!
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Quadrado e circunferência
Boa tarde, Pedro.PedroCunha escreveu:Ivo, poderia me explicar o porquê do\\ 2 \cdot (r\sqrt2 - r) ?
Obrigado.
Diagonalmente, temos:
3*2r + 2*(rѴ2 - r) = 10Ѵ2
Na diagonal do quadrado temos, além dos 3 círculos completos, os dois cantinhos (um em cada extremidade da diagonal).
Analisando o círculo que se encontra na extremidade superior da digonal, divida esse círculo em 4 partes, traçando seus diâmetros vertical e horizontal.
A seguir, atenta para o quadrante superior esquerdo, aquele que contém o cantinho, e
trace nesse quadrante a diagonal que parte do cantinho e vai até o centro do círculo.
Essa diagonal tem rѴ2 por medida, chamando de r o raio do referido círculo.
Logo, a distância que vai do círculo até o canto do quadrado mede, obviamente, rѴ2 - r.
Espero tenha ficado claro para o amigo.
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
- Mensagens : 4994
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 91
Localização : São Paulo - Capital
Re: Quadrado e circunferência
Ficou sim.
Muito obrigado, mestre Ivo!
Muito obrigado, mestre Ivo!
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Quadrado e circunferência
Outro modo.
raimundo pereira- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 6113
Data de inscrição : 13/06/2012
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Localização : Rio de Janeiro
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