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(IME)Números Complexos VII

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Mensagem por medock Sáb 20 Set 2014, 01:31

Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se e, somente se: Z1Z*+ Z*1Z2 = 0

OBS: Z* é o conjugado de Z

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Mensagem por Ashitaka Sáb 20 Set 2014, 12:07

Z1 = a + bi
Z2 = c + di

(a+bi)(c-di) + (a-bi)(c+di) = 0
ac - adi + bic + bd + ac + adi - bic + bd = 0
ac + bd + ac + bd = 0
ac + bd = 0

Agora pensemos na representação gráfica de Z1 e Z2. Os afixos de Z1 e Z2 podem ser vistos como dois vetores com origem na origem do plano (0, 0) e extremidade nos pontos, respectivamente:
Z1 = (a, b)
Z2 = (c, d)

Dessa forma, os vetores que ligam a origem do plano aos pontos (afixos) são:
u = (a-0, b-0) = (a, b)  (vetor que vai da origem até o afixo de Z1)
v = (c-0, d-0) = (c, d) (vetor que vai da origem até o afixo de Z2)

Da geometria analítica, sabemos que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto interno deles é zero.
u.v = 0
(a, b).(c,d) = 0
ac + bd = 0

Acredito que isso é o suficiente para provar.
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Mensagem por Luck Sáb 20 Set 2014, 15:48

Ashitaka, está 'meio' provado, lembrando que o conectivo é "se e somente se" então faltou vc provar a volta..

Outra maneira de provar a ida:
Sendo z1 e z2 ortogonais,  z1 = pz2cis(pi/2 + kpi) . Para facilitar a escrita, considere k =0.
S = z1z2* + z1*z2
S = [pz2cis(pi/2)]z2* + [pz2*cis(-pi/2)]z2 , sendo z.z* = |z|² :
S = p|z2|²cis(pi/2) + p|z2|²cis(-pi/2)
S = p|z2|² ( cis(pi/2) + cis(-pi/2) )
S = p|z2|² (2cos(pi/2) )
S = 0

Volta:
Se z1z2* + z1*z2 = 0
z1 = |z1|cisθ  , z2 = |z2|cisβ
(|z1|cis(θ))(|z2|cis(-β)) + (|z1|cis(-θ))(|z2|cis(β)) = 0
|z1||z2|cis(θ-β) + |z1||z2|cis(-θ+β) = 0
|z1||z2| ( cis(θ-β) + cis(-θ+β) ) = 0
(cos(θ-β) + isen(θ-β) + cos(θ-β) - isen(θ-β) ) = 0
2cos(θ - β) = 0
θ-β = (pi/2) + kpi , k ∈ Z
Logo, z1 e z2 são ortogonais.
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Mensagem por Ashitaka Sáb 20 Set 2014, 15:56

Luck, eu pensei em tentar fazer outra prova usando a forma trigonométrica mas acabei indo fazer outra e coisa e esqueci.
Mas agora que você falou da volta, ela não está "embutida" no que eu fiz?
Porque cosa = 0 se, e somente se, u.v = 0. Agora fiquei confuso porque não vale a volta...
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Mensagem por Luck Sáb 20 Set 2014, 16:28

Ashitaka escreveu:Luck, eu pensei em tentar fazer outra prova usando a forma trigonométrica mas acabei indo fazer outra e coisa e esqueci.
Mas agora que você falou da volta, ela não está "embutida" no que eu fiz?
Porque cosa = 0 se, e somente se, u.v = 0. Agora fiquei confuso porque não vale a volta...
agora que notei que vc usou produto escalar desculpe, neste caso está correto sim..
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