Energia

Uma partícula de massa m é abandonada, sem velocidade inicial, de uma altura h em relação ao solo em um lugar onde a intensidade do campo gravitacional é constante e igual a g. Seja t=0 o instante em que ela foi solta, e t= T aquele em que ela tocou o solo. Despreze a resistencia do ar e considere a energia potencial igual a zero no solo. Qual das expressões a seguir fornece o valor da energia potencial gravitacional da partícula para t= T/2?

R: 0,75 mgh

To com um pouco de dificuldade de  desenvolver essa questão, alguem pode dar uma mão?

Misturar o conceito de energia e tempo pode haver uma complicação, mas veja:
Tempo total de queda:
S=at²/2 --> h=gt²/2 --> t²=2g/h --> T=(√(2h/g))
Como o sistema é conservativo, então a energia cinética ao tocar ao solo equivale à energia potencial no instante t=0:
mv²/2=mgh --> v^2=2gh
Como pediu quando o tempo fosse t=T/2, então podemos achar a velocidade desse corpo nessa posição:
V = a t --> V = g (√(2h/g))/2 = g(√(h/2g)) = √(gh/2)
Logo, podemos saber a energia cinética do corpo com essa velocidade:
mv²/2 = m(√(gh/2))²/2=mgh/8 --> Este é o valor da energia cinética.
Como o sistema é conservativo, então temos que a energia cinética do local somado com a energia potencial do local = energia total:
mgh/8 + X = mgh --> X=(7/8) mgh = 0,875 mgh

Otima Carlos, apenas você errou na conta do T, que na verdade é t= V2h/g o que comprometeu o resto dos valores, mas fazendo com o valor certo a conta bate no final. Obrigado!

Certeza? Eu analisei e continuo com a minha resposta, o meu erro foi apenas em T, mas o valor de V = a t não mudou.

Sim, veja que apos achar a velocidade no t= T/2, você se equivocou na Ec nesse instante, acho que você elevou o 2 do denominador ao quadrado, a Ec do T/2 é   mgh/4 e não mgh/8. Ajeitando isso, no final as contas batem e X = 3/4mgh = 0,75mgh.
De qualquer jeito o raciocinio foi inteligente, obrigado mais uma vez!

Ah sim, eu estava considerando que o 2 estava fora da raiz. Obrigado pela correção.