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CMRJ - 2008

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Mensagem por Hoshyminiag Qui 18 Set 2014, 00:40

Um navio passa, sucessivamente, pelos pontos A,B e C, não colineares, navegando em linha reta de um ponto para o outro. O comandante observou que a distância percorrida entre os pontos A e B foi de 6 milhas e entre os pontos B e C foi de 6V3 milhas, e que o ângulo BCA media 30º. A menor distância possível a ser percorrida pelo navio, em linha reta, se a trajetória fosse diretamente do ponto A ao C seria:

R: 6 milhas.

Eu tracei uma perpendicular de B até AC, encontrei que AC = 12 (9+3), e agora não sei o que fazer.
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Mensagem por ivomilton Qui 18 Set 2014, 09:51

Hoshyminiag escreveu:Um navio passa, sucessivamente, pelos pontos A,B e C, não colineares, navegando em linha reta de um ponto para o outro. O comandante observou que a distância percorrida entre os pontos A e B foi de 6 milhas e entre os pontos B e C foi de 6V3 milhas, e que o ângulo BCA media 30º. A menor distância possível a ser percorrida pelo navio, em linha reta, se a trajetória fosse diretamente do ponto A ao C seria:

R: 6 milhas.

Eu tracei uma perpendicular de B até AC, encontrei que AC = 12 (9+3), e agora não sei o que fazer.
Bom dia,

Encontrei o mesmo resultado: 3 do lado de 6 milhas e 9 do lado de 6V3 milhas, totalizando 12 milhas como comprimento do lado AC.
Deve haver algum engano no texto dessa questão.






Um abraço.
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Mensagem por Hoshyminiag Qui 18 Set 2014, 13:23

Obrigado pela ajuda! Realmente deve existir algum engano na questão.
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Mensagem por Luccanaval Qui 18 Set 2014, 13:58

A questao não esta errada não.angulo BCA=30 
Lado AB=6,BC=6V3,AC=x
Lei dos cossenos
36=108+x^2-2•x•6V3 •V3/2---->x^2-18x+72=0
Raizes x1=6 x2=12
Ele quer a menor logo 6.
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Mensagem por ivomilton Qui 18 Set 2014, 16:45

Luccanaval escreveu:A questao não esta errada não.angulo BCA=30 
Lado AB=6,BC=6V3,AC=x
Lei dos cossenos
36=108+x^2-2•x•6V3 •V3/2---->x^2-18x+72=0
Raizes x1=6 x2=12
Ele quer a menor logo 6.
Boa tarde para ambos.

Pois é, amigo Hoshyminiag, o Luccanaval tem razão.
A disposição desse triângulo é diferente da que nós imaginamos.
Faz aí o esboço de um triângulo da seguinte maneira:
Vértice superior: A
Vértice inferior esquerdo: C
Vértice inferior direito: B

Dentro do vértice B escreva 30°.
Trace uma perpendicular desde A até o lado CB, designando pela letra H o pé dessa perpendicular sobre CB.
AH/AB = sen 30°
AH/6 = 1/2
2*AH = 6
AH = 3

Calcule HB aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo AHB:
(HB)² = (AB)² - (AH)²
(HB)² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27
HB = Ѵ27
HB = 3Ѵ3

CH = CB - HB
CH = 6Ѵ3 - 3Ѵ3
CH = 3Ѵ3

Finalmente, calculando a medida do lado AC:
(AC)² = (AH)² + (CH)²
(AC)² = 3² + (3Ѵ3)² = 9 + 27 = 36
AC = Ѵ36
AC = 6



Um abraço e muito obrigado ao Luccanaval!
ivomilton
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Mensagem por Hoshyminiag Qui 18 Set 2014, 20:35

ivomilton escreveu:
Luccanaval escreveu:A questao não esta errada não.angulo BCA=30 
Lado AB=6,BC=6V3,AC=x
Lei dos cossenos
36=108+x^2-2•x•6V3 •V3/2---->x^2-18x+72=0
Raizes x1=6 x2=12
Ele quer a menor logo 6.
Boa tarde para ambos.

Pois é, amigo Hoshyminiag, o Luccanaval tem razão.
A disposição desse triângulo é diferente da que nós imaginamos.
Faz aí o esboço de um triângulo da seguinte maneira:
Vértice superior: A
Vértice inferior esquerdo: C
Vértice inferior direito: B

Dentro do vértice B escreva 30°.
Trace uma perpendicular desde A até o lado CB, designando pela letra H o pé dessa perpendicular sobre CB.
AH/AB = sen 30°
AH/6 = 1/2
2*AH = 6
AH = 3

Calcule HB aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo AHB:
(HB)² = (AB)² - (AH)²
(HB)² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27
HB = Ѵ27
HB = 3Ѵ3

CH = CB - HB
CH = 6Ѵ3 - 3Ѵ3
CH = 3Ѵ3

Finalmente, calculando a medida do lado AC:
(AC)² = (AH)² + (CH)²
(AC)² = 3² + (3Ѵ3)² = 9 + 27 = 36
AC = Ѵ36
AC = 6



Um abraço e muito obrigado ao Luccanaval!

Obrigado aos dois pela ajuda! Mas, mestre ivomilton, o senhor disse ''Dentro do vértice B escreva 30°.''; não seria dentro do vértice C?
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Mensagem por ivomilton Qui 18 Set 2014, 21:57

Boa noite, Hoshyminiag./

O amigo tem razão, é ângulo C e não B.


.........A
........⁄'|\
..'..../'.|''\
''''.,6..''|.'.x
.'''.⁄....'|.'.''\
''''⁄......|.....\
''⁄....''..|......\
B.____H__30C
.........6Ѵ3


Usando a "figura" acima, temos que:

AH/AC = sen 30°

AH/x = 1/2

2*AH = x

AH = x/2


Aplicando Pitágoras ao triâng. ret. AHC, vem:

(HC)² = (AC)² - (AH)²

(HC)² = x² - (x/2)² = x² - x²/4 = 4x²/4 - x²/4 = 3x²/4
HC = Ѵ(3x²/4)

HC = xѴ3/2


BH = BC - HC = 6Ѵ3 - xѴ3/2 = 12Ѵ3/2 - xѴ3/2

BH = [(12-x)Ѵ3]/2


Aplicando Pitágoras ao triang. ret. AHB, vem:

(AH)² + (BH)² = (AB)²

(x/2)² + {[(12-x)Ѵ3]/2}² = 6²

x²/4 + (432 - 72x + 3x²)/4 = 36

x² + 432 - 72x + 3x² = 4*36

4x² - 72x + 432 - 144 = 0

4x² - 72x + 288 = 0


Simplificando toda a equação supra por 4, fica:

x² - 18x + 72 = 0


E chegamos à mesma equação do Luccanaval!

x' = 12

x" = 6



Como é pedida a menor distância, a resposta é:

AC = 6





Um abraço.
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