(UPE) - soma logaritmica

por hermes77 Ter 16 Set 2014, 11:56

A soma 1+ 1/4+1/16+...+1/4^k com k=log2 n é igual a:

R= 4n²-1/3n²

Percebi que se trata de uma pa.Eu teria que substituir o log2 pelo k no expoente do 4 da pa?alguém poderia explicar melhor,agradeço.

por **Euclides** Ter 16 Set 2014, 22:38

Aquela é a soma de uma PG

\\S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}

operando com os valores encontramos

S=\frac{4-\frac{1}{4^{n-1}}}{3}

guardamos isso, damos uma parada e olhamos para a soma

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{n-1}}

e temos que k=n-1=\log_2 n\;\;\to\;\;2^{n-1}=n\;\;\;\therefore\;\;\;4^{n-1}=n^2

agora voltamos

S=\frac{4-\frac{1}{n^2}}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3n^2}\;\;\Rightarrow\;\;S=\frac{4n^2-1}{3n^2}

por hermes77 Qua 17 Set 2014, 18:26

Opa Euclides, obrigado pelo retorno e desculpa o erro de ao invés de pg colocar pa(pensei em um coisa e escrevi outra).No entanto gostaria de saber como estruturar a soma dos n elementos da pg para que fique igual a sua S=4-1/4^n-1/3 , pois o meu só ficou S=4^n -1/3.

por **Euclides** Qua 17 Set 2014, 19:19

S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1\left(\frac{1}{4^n}-1\right)}{\frac{1}{4}-1}=\frac{\left(1-\frac{1}{4^n}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1-\frac{1}{4^n}}{\frac{3}{4}}=\frac{4-\frac{1}{4^{n-1}}}{3}