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Combinatória - (soma divisível por 3)

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Mensagem por Ashitaka Qui 04 Set 2014, 21:16

De quantos modos podemos escolher 3 números, não necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, ..., 150} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3? E se os números devessem ser distintos?
R: 191.300 e 183.800
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Mensagem por Paulo Testoni Sáb 13 Set 2014, 17:53

Hola.

Esse tipo de exercício envolve módulo e o uso de soluções inteiras e positivas de uma equação. Assunto que no meu entender não se aplica ao ensino médio. Em todos os casos vou resolver fugindo um pouco desses assuntos.


E se os números devessem ser distintos?

Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 150}


Considere os seguintes conjuntos:

A = {x E; x é múltiplo de 3} = {3, 6, 9, ..., 150}

B = {x E; x deixa resto 1 quando dividido por 3} = {1, 4, 7, 10,..., 148)

C = {x E; x deixa resto 2 quando dividido por 3} = {2, 5, 8, 11,..., 149}.

Observe que os conjuntos A, B e C são dois a dois disjuntos e possuem, respectivamente, 50, 50 e 50 elementos. Observe, também, que:

(a) Cada 3 números escolhidos em A têm por soma um múltiplo de 3.

(b) Cada 3 números escolhidos em B têm por soma um múltiplo de 3.

(c) Cada 3 números escolhidos em C têm por soma um múltiplo de 3.

(d) Escolhendo-se um número em A, um em B e um em C, a soma desses três números é um múltiplo de 3.

Portanto, das observações acima, segue que o número buscado é igual a:

C50,3 + C50,3 + C50,3 + C50,1 * C50,1 * C50,1 =

19.600 +19.600 + 19.600 + 50*50*50 =
19.600*3 + 50³ = 58.800 + 125.000 = 183.800


Última edição por Paulo Testoni em Sáb 13 Set 2014, 19:51, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : correção do conjunto B e C.)
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Mensagem por Ashitaka Sáb 13 Set 2014, 18:46

Obrigado, Paulo; Já havia postado aqui há tanto tempo que não me lembrava mais de dar um feedback pois consegui resolver e é isso aí mesmo que fiz. Só atenção ali na descrição dos conjuntos porque o 150 não faz parte de B e C.
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Mensagem por Paulo Testoni Sáb 13 Set 2014, 19:46

Hola Ashitaka .

Nove  dias é muito tempo? Vc tem razão, vou corrigir.

não necessariamente distintos:

A = {x ∈ E; x é múltiplo de 3} = {3, 6, 9, ..., 150}

B = {x ∈ E; x deixa resto 1 quando dividido por 3} = {1, 4, 7, 10,..., 148)

C = {x ∈ E; x deixa resto 2 quando dividido por 3} = {2, 5, 8, 11,..., 149}.

No conjunto
A = {3+3+3, 6+6+6, ..., 150+150+150}, temos 50 somas.

No conjunto
B = {1+1+1, 4+4+4,...., 148+148+148}, temos 50 somas.

No conjunto
C = {2+2+2, 5+5+5,...., 149+149+149}, temos 50
somas. Logo:

3*50 = 150 somas com 1 número repetido 3 vezes.

Agora vamos ver somas do tipo: 1+1+4, 2+2+5, etc.

No conjunto
A = {x ∈ E; x é múltiplo de 3} = {3, 6, 9, ..., 150}


temos, A = {3+3+6, 3+3+9, 3+3+12, 6+6+3, 6+6+9, 6+6+12, 9+9+3, ....150+150+3}, etc.
são: A50,2 = 50!/48! = 50*49
Como isso se repete no conjunto B e C, então:

3*50*49 = 7.350 somas com 2 números repetidos.
7.350 + 150 = 7.500

Solução final: 183.800 + 7.500 = 191.300
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