altura piramide pentagonal
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altura piramide pentagonal
determine a altura de uma pirâmide regular, de base pentagonal, sabendo que todas as suas arestas medem 10 cm.
Katia Silveira- Iniciante
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Idade : 63
Localização : Petrópolis RJ
Re: altura piramide pentagonal
Podemos concluir que a base é um pentágono regular, portanto inscritível, e que a projeção do vértice sobre a base fica no centro da circunferência.
Interessa-nos saber a medida do raio da circunferência circunscrita para, aplicando Pitágoras, calcular a pedida altura h.
Como não sei de memória a relação entre lado do pentágono e raio do círc. circuns. e nem, tampouco, o seno de 36º, vou usar o que lembro de cor:
-- o lado do pentágono (L5) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o lado do hexágono (L6) e o lado do decágono (L10);
-- sendo R o raio da circunferência circunscrita, L6=R e L10=R.φ, onde φ é a razão áurea, ou seja, φ=(√5-1)/2.
Isto posto e trabalhando na base da pirâmide, por Pitágoras temos que:
10² = R² + R².φ² -----> 10² = R²(φ²+1) -----> R² = 10²/(φ²+1)
φ = (√5 - 1)/2
φ² = (5 - 2√5 + 1)/4 = (3 - √5)/2
φ²+1 = (5 - √5)/2
Agora, aplicando Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura (h) da pirâmide, pelo raio R e pela aresta -- que também vale 10 cm --, temos:
h² = 10² - R²
h² = 100 - 100*2/(5-√5) = 100*[1 - 2/(5-√5)] = 100*[(5-√5-2)/(5-√5)] = 100*[(3-√5)/(5-√5)] = 100*[(15+3√5-5√5-5)/(25/5)]
h² = (100/20)*[10-2√5] = 50 - 10√5
.:.
h = √(50 - 10√5) cm ~= 5,26 cm
não vejo como "tirar" o radical duplo, então deixo o resultado assim mesmo.
Interessa-nos saber a medida do raio da circunferência circunscrita para, aplicando Pitágoras, calcular a pedida altura h.
Como não sei de memória a relação entre lado do pentágono e raio do círc. circuns. e nem, tampouco, o seno de 36º, vou usar o que lembro de cor:
-- o lado do pentágono (L5) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o lado do hexágono (L6) e o lado do decágono (L10);
-- sendo R o raio da circunferência circunscrita, L6=R e L10=R.φ, onde φ é a razão áurea, ou seja, φ=(√5-1)/2.
Isto posto e trabalhando na base da pirâmide, por Pitágoras temos que:
10² = R² + R².φ² -----> 10² = R²(φ²+1) -----> R² = 10²/(φ²+1)
φ = (√5 - 1)/2
φ² = (5 - 2√5 + 1)/4 = (3 - √5)/2
φ²+1 = (5 - √5)/2
Agora, aplicando Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura (h) da pirâmide, pelo raio R e pela aresta -- que também vale 10 cm --, temos:
h² = 10² - R²
h² = 100 - 100*2/(5-√5) = 100*[1 - 2/(5-√5)] = 100*[(5-√5-2)/(5-√5)] = 100*[(3-√5)/(5-√5)] = 100*[(15+3√5-5√5-5)/(25/5)]
h² = (100/20)*[10-2√5] = 50 - 10√5
.:.
h = √(50 - 10√5) cm ~= 5,26 cm
não vejo como "tirar" o radical duplo, então deixo o resultado assim mesmo.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: altura piramide pentagonal
obrigada
Katia Silveira- Iniciante
- Mensagens : 32
Data de inscrição : 24/10/2013
Idade : 63
Localização : Petrópolis RJ
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