Relações entre conjuntos (reflexivas, etc.)

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Mensagem por Ashitaka em Dom 24 Ago 2014, 23:09

Boa noite!

Eu me deparei com o seguinte problema e não postei para que o resolvam por completo. O que eu gostaria é que, se possível, definissem para mim cada uma das relações mencionadas nos itens dos exercícios, pois não achei em meus livros e nem respostas satisfatórias na internet. E se possível, resolvessem um ou dois itens como exemplo para que eu possa ter uma ideia de como prosseguir nos outros, exceto o item a) que eu já sei.

O  conjunto A  possui n  elementos. 
a) Determine o número de relações que podem ser construídas em A; 
b) Idem, relações reflexivas; 
c) Idem, relações  simétricas; 
d) Idem, relações anti-simétricas; 
e) Idem, relações  reflexivas e simétricas; 
f) Idem, relações reflexivas e anti-simétricas; 
g) Idem, relações  simétricas e anti-simétricas; 
h) Idem! relações reflexivas: simétricas e anti-simétricas.
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Mensagem por Paulo Testoni em Seg 25 Ago 2014, 11:01

Hola.

Dado um conjunto K,dizemos que R é uma relação reflexiva quando está satisfeita a condição: 

"(Para todo x)(x E K=>xRx) , isto é , R é reflexiva se todo elemento de K se relaciona consigo mesmo. Ou em outras palavras: eu vejo eu mesmo no espelho.

Como para a relação ser reflexiva é necessário que todo elemento de K se relacione consigo mesmo,então fixando os pares ordenados constituídos de elementos iguais,tipo (a,a),(b,b),etc..,eles se juntarão aos subconjuntos com 0,1,2,3,...(n²-n).O que eu quero dizer é que:"Sendo n² o número de pares ordenados de AXA, então "n" pares ordenados constarão de elementos que estão relacionados consigo mesmo.Os (n²-n) pares ordenados formam subconjuntos com 0,1,2,3,...,(n²-n) elementos, e cada um desses subconjuntos vai se juntar aos "n" pares ordenados formados por elementos que se relacinam consigo mesmo para formar relações reflexivas.Assim o número de relações reflexivas é dado por : 

C(n²-n,0)+C(n²-n,1)+.....+C(n²-n,n²-n)...‡ = 2^(n²-n) 


Do livro do Morgado: Respostas:


c) Idem, relações  simétricas; ==> 2^(n² + n)/2
d) Idem, relações anti-simétricas; ==> 2^n *  3^(n² - n)/2
e) Idem, relações  reflexivas e simétricas; ==> 2^(n² - n)/2
f) Idem, relações reflexivas e anti-simétricas; ==> 3^(n² - n)/2
g) Idem, relações  simétricas e anti-simétricas; ==> 2^n
h) Idem! relações reflexivas: simétricas e anti-simétricas. 1
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Mensagem por Ashitaka em Sex 29 Ago 2014, 10:22

Bom dia,

A reflexiva eu consegui resolver interpretando de um jeito aqui, mas agradeço pela interpretação alternativa que você postou. O meu intuito ao postar era que definissem cada uma das relações para que eu pudesse tentar resolver o exercício, mas felizmente consegui achar um livro na internet que definisse.
Mesmo assim, agradeço pela resposta.
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Mensagem por Paulo Testoni em Sex 29 Ago 2014, 10:30

Hola Ashitaka.


Não há de que, estamos aqui para ajudar. É muito salutar esse seu interesse em tentar resolver sozinho, pois assim vais adquirindo uma base matemática muito boa. Como já dizia Anaxágoras:
O melhor meio de compreender é fazer.
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