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Áreas de figuras planas.II

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Áreas de figuras planas.II Empty Áreas de figuras planas.II

Mensagem por idelbrando Qua 13 Ago 2014, 15:54

Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 12, os arcos DE, EF, FD estão contidos em circunferência de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada?
(Dados: Use as aproximações: 3, 14 e  31, 73).

Não há alternativas, mas apenas a resposta: 03

Áreas de figuras planas.II Dgqols
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Mensagem por Medeiros Qua 13 Ago 2014, 16:43

Áreas de figuras planas.II 9ftr0j
L = 12
h = L√3/2 = 6√3
2h/3 = 4√3
r = 2h/3 - 6 ----> r = 4√3 - 6 ------> r² = 84 - 48√3

(área dos 6 3 arcos de 60º de R=6 nos vértices) ≡ (área de 1 arco de 180º de R=6) ≡ (meio círculo de R=6)

S = (área do triâng. equil.) - (meio círculo de R=6) - (círculo de r)
S = L².√3/4 - pi.6²/2 - pi.r²
S = 36√3 - 18pi - pi.(84 - 48√3)
S = 36√3 - pi.(102 - 48√3)
S ~= 3,05
.:. inteiro mais próximo ------> 3


Última edição por Medeiros em Qui 14 Ago 2014, 13:20, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : corrigir 6 por 3.)
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Mensagem por idelbrando Qua 13 Ago 2014, 19:28

Medeiros escreveu:Áreas de figuras planas.II 9ftr0j
L = 12
h = L√3/2 = 6√3
2h/3 = 4√3
r = 2h/3 - 6 ----> r = 4√3 - 6 ------> r² = 84 - 48√3

(área dos 6 arcos de 60º de R=6 nos vértices) ≡ (área de 1 arco de 180º de R=6) ≡ (meio círculo de R=6)

S = (área do triâng. equil.) - (meio círculo de R=6) - (círculo de r)
S = L².√3/4 - pi.6²/2 - pi.r²
S = 36√3 - 18pi - pi.(84 - 48√3)
S = 36√3 - pi.(102 - 48√3)
S ~= 3,05
.:. inteiro mais próximo ------> 3

Boa noite Medeiros.

Tenho dúvidas sobre a resolução da referida questão, que são as seguintes:
1. Como você chegou a ideia que "h=2h/3"?
2. Como chegou a "r²=84-483"?
3. "(área dos 6 arcos de 60° de R=6 nos vértices) ≡ (área de 1 arco de 180° de R=6) ≡ (meio círculo de R=6)"Acho que esses 6 arcos de 60° seja na verdade 30°?E não entendo 1 arco de 180°.
Desculpe por perguntar tal dúvida pode ser até fácil, mas eu sempre tive dificuldades em matemática, mais que em física.
E se eu não entender ainda estou lhe perguntando novamente, ok?


Agradeço pela compreensão Medeiros.


Abraços.
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Mensagem por idelbrando Qui 14 Ago 2014, 08:46

Medeiros escreveu:Áreas de figuras planas.II 9ftr0j
L = 12
h = L√3/2 = 6√3
2h/3 = 4√3
r = 2h/3 - 6 ----> r = 4√3 - 6 ------> r² = 84 - 48√3

(área dos 6 arcos de 60º de R=6 nos vértices) ≡ (área de 1 arco de 180º de R=6) ≡ (meio círculo de R=6)

S = (área do triâng. equil.) - (meio círculo de R=6) - (círculo de r)
S = L².√3/4 - pi.6²/2 - pi.r²
S = 36√3 - 18pi - pi.(84 - 48√3)
S = 36√3 - pi.(102 - 48√3)
S ~= 3,05
.:. inteiro mais próximo ------> 3

Olá Medeiros.

Por acaso você teria em mente uma outra forma de resolver a referida questão?Pois estou com duvida na relação que você pôs em 2h/3, portanto penso eu que 2h seja o seguimento CE, mas porque 2 multiplicando pela h, assim como não entendo porque dividir por 3. Também não entendo como você chegou de r=4 3-6--até-->r²=84-48 3. Também não compreendo "área dos 6 arcos de 60°", pois só consigo raciocinar 3 arcos que são DE, EF e FD. Essas são minhas dúvidas.  

Agradeço a ajuda.

Abraços.
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Mensagem por raimundo pereira Qui 14 Ago 2014, 08:57

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Mensagem por idelbrando Qui 14 Ago 2014, 10:26

raimundo pereira escreveu:outro modo;

https://pir2.forumeiros.com/t69549-ufpe-area-hachurada

Olá raimundo pereira.

Não estou entendendo apenas uma detalhe nos cálculos:

6+x+23=63

Como você conseguiu provar o que esta em vermelho?
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Mensagem por raimundo pereira Qui 14 Ago 2014, 13:02

6+x+2V3=6V3---> 6(raio do setor) + x(raio do círculo pequeno)+2V3(parte inferior da mediana EC)=2V3 + 4V3 (total da mediana).
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Mensagem por Medeiros Qui 14 Ago 2014, 13:49

Boa noite Medeiros.

Tenho dúvidas sobre a resolução da referida questão, que são as seguintes:
1. Como você chegou a ideia que "h=2h/3"?
2. Como chegou a "r²=84-483"?
3. "(área dos 6 arcos de 60° de R=6 nos vértices) ≡ (área de 1 arco de 180° de R=6) ≡ (meio círculo de R=6)"Acho que esses 6 arcos de 60° seja na verdade 30°?E não entendo 1 arco de 180°.
Bom dia, Idelbrando!

1) por favor, não espalhe por aí que eu disse "h=2h/3" porque posso ser apedrejado ao sair à rua -- onde já se viu um sujeito menor do que ele mesmo? O que fiz foi:
-- a) identificar h em função do lado L do triângulo. "h" é a altura do triângulo que, para um triângulo equilátero vale h=L√3/2;
-- b) após, calculei 2h/3; note, conforme indicado na figura, que essa é a distância do centro do círculo ao vértice C. Fiz essa conta porque, em qualquer triângulo, medido sobre uma determinada mediana, a distância entre o vértice e o baricentro vale 2/3 da medida da mediana. Por conseguinte, a medida entre o baricentro e o pé dessa mediana (ponto médio do lado) vale 1/3 da mediana.

2) O enunciado forneceu o valor do raio dos arcos: R=6. O raio r do círculo, indiquei na figura. E já calculamos a medida 2h/3, também indicada na figura. Queremos descobrir o valor de "r" e, pela figura, percebe-se que "r = 2h/3 - R", logo "r = 4√3 - 6". Simplesmente elevei r ao quadrado; e o fiz porque vamos precisar deste valor mais adiante ao calcular a área do círculo. Fazendo as contas passo a passo:
r² = (4√3 - 6)² = (4√3)² - 2.(4√3).6 + 6² = 16.3 - 12.4√3 + 36 = 48 + 36 - 48√3 = 84 - 48√3.

3) falar "6" arcos foi erro meu e, graças ao seu alerta, já corrigi na mensagem original. Na verdade, são apenas "3" arcos de 60º porque o triângulo tem apenas três vértices. Ora, três arcos de 60º somam 3*60º=180º; e 180º significa um ângulo raso, ou seja, uma linha reta; e, também, um arco de 180º subentende uma área igual à metade da área de um círculo. Achei mais fácil calcular a metade da área de um círculo do que calcular a área de um arco e multiplicar por três.

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