Questão Titu Andreescu Trigonometria ITA/IME

por fernandobvm Qua 30 Jul 2014, 21:24

Galera gostaria da ajuda de vocês nessa questão, se puderem ajudar-me muito obrigado!!

Sabendo que p = (1-cos61°/cos1°)*(1-cos62°/cos2°).....(1-cos119°/cos59°). Então o valor de 45*p/2 é igual a:
A) 1
B) 1/2
C) 45
D) 45/2
E) 90

Infelizmente não sei dizer qual é a resposta da questão...

por ophir.n Qua 30 Jul 2014, 22:09

Olá!

Tem certeza de que os dados estão corretos? A sequência não aparenta ter lógica...

Poderia me dizer se aquele "cos 159º" na verdade não é "cos 119º"?

Abraço

por fernandobvm Qua 30 Jul 2014, 22:13

ophir.n escreveu:Olá!

Tem certeza de que os dados estão corretos? A sequência não aparenta ter lógica...

Poderia me dizer se aquele "cos 159º" na verdade não é "cos 119º"?

Abraço

Opa, erro meu na hora de digitar, sim é cos 119°, já editei a questão, obrigado desde então!!

por PedroCunha Qui 31 Jul 2014, 05:56

Olá, amigos.

Notando que 61° = 60° + 1°, 62 = 60° + 2°, etc. , temos:

\\ \frac{1 - \cos(60^{\circ} + k)}{\cos k}, k = 1^{\circ},2^{\circ},3^{\circ}, \dots 59^{\circ} = \frac{\cos k - \cos(60^{\circ} + k)}{\cos k}

Das fórmulas da prostaférese, sabemos que:

\cos a - \cos b = - 2\cdot \sin \frac{a+b}{2} \cdot \sin \frac{a-b}{2} .

Assim,

\\ \cos k - \cos (60^{\circ} + k) = -2 \cdot \sin \frac{2k+60^{\circ}}{2} \cdot \sin \frac{-60^{\circ}}{2} \therefore -2 \cdot \sin (k+30^{\circ}) \cdot -\sin 30^{\circ} \therefore \\\\ \sin (k+30^{\circ}) = \cos (90^{\circ} - k -30^{\circ}) = \cos (60^{\circ} - k)

Logo,

p = \prod^{59^{\circ}}_{k = 1} \frac{\cos (60^{\circ} - k)}{\cos k} = \frac{\cos 59^{\circ} \cdot \cos 58^{\circ} \dots \cos 1^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \dots \cos 59^{\circ}} = 1

Terminando: \frac{45 \cdot p}{2} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{45}{2} } }

Solução baseada em um exercício resolvido pelo próprio Titu no livro "Putnan and Beyond".

Att.,
Pedro