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Mensagem por medock Seg 28 Jul 2014, 23:01

Se (1+x)10= a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + ... + a10.x10, então (a0 - a2 + a4 - a6 + a8 - a10)2 + (a1 - a3 + a5 - a7 + a9)2 é igual a:

A) 310
B) 210
C) 29
D) 39
E) 1

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medock
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Mensagem por Luccanaval Seg 28 Jul 2014, 23:45

07.28.2014 Smile  Smile Bom isso seria o triangulo de pascal em pratica 

1
1 1 
1 2 1
1 3 3 1 
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
1 7 21 35 35 21 7 1 
1 8 28 56 70 56 28 8 1 
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
A linha que queremos->
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
a0=1
a1=10
a2=45
a3=120
a4=210
a5=252
a6=210
a7=120
a8=45
a9=10
a10=1 ,logo  (1-45+210-210+45-1)^2+(10-120+252-120+10)^2=(32)^2=1024=2^10
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Mensagem por PedroCunha Ter 29 Jul 2014, 00:08

Olá, Medock.

Sabendo que a^2 + b^2 = (a+b)^2  -2ab , temos:

\\  (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10})^2 + (a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + a_9)^2 = \\ (a_0 + a_1 - a_2 - a_3 + a_4 + a_5 - a_6 - a_7 + a_8 + a_9 - a_{10})^2 \\ - 2 \cdot  (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10})  \cdot (a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + a_9) 

Mas pelo desenvolvimento do Binômio de Newton, a_0 = a_{10}, a_1 = a_9, a_2 = a_8, a_3 = a_7, a_4 = a_6 . Com isso em mente, podemos reescrever a expressão como:

\\  (a_0 + a_1 - a_2  - a_3 + a_4 + a_5 - a_4 - a_3 + a_2 + a_1 - a_0)^2 \\  - 2 \cdot \underbrace{( a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_2 - a_0 )}_{=0} \cdot (a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + a_9) \therefore \\ (2a_1 - 2a_3 + a_5)^2 

Calculando apenas esses termos:

\\ \begin{cases} a_1 \Leftrightarrow T_2 \Leftrightarrow \binom{10}{1} \\ a_3 \Leftrightarrow T_4 \Leftrightarrow \binom{10}{3} \\ a_5 \Leftrightarrow T_6 \Leftrightarrow \binom{10}{5} \end{cases} .

Assim, o valor pedido é: \left[2 \cdot \left(\binom{10}{1} - \binom{10}{3}\right) + \binom{10}{5}\right]^2 = 1024 = 2^{10} .

Abraços,
Pedro
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