(China) Números Complexos

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Mensagem por medock em Seg 28 Jul 2014, 22:47

Se a e b são números complexos conjugados, tal que a/b² é um número real e |a-b|=2√3.
Então o valor de |a| é igual a:


A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5


Spoiler:
Gabarito: B

medock
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(China) Números Complexos Empty Re: (China) Números Complexos

Mensagem por PedroCunha em Seg 28 Jul 2014, 23:27

Olá, medock.

a = x+yi, b = x-yi.

a/b² = (x+yi)/(x² - 2xyi  - y²) .:. (x+yi)/[ (x²-y²) - 2xyi] .:.
[ (x+yi) * [ (x²-y²) + (2xyi)] / [(x²-y²)² - (2xyi)²]

Numerador:

x³ - xy² + 2x²yi + x²yi - y³i + 2xy²i²  .:. (x³-3xy²) + i*(3x²y-y³)

Denominador:

x^4 - 2x²y² + y^4 + 4x²y² = x^4 + 2x²y² + y^4 = (x²+y²)²

Se a/b² é real:

(x³-3xy²)/(x²+y²)²≠ 0  --> denominador sempre não nulo:

x³-3xy² ≠0 .:. x*(x²-3y²) ≠ 0 --> x ≠ 0 e x ≠ √3*±y

e

(3x²y-y³)/(x²+y²)² = 0 .:. 3x²y-y³ = 0 .:.  3x²y = y³, y ≠ 0: 3x² = y² .:. x² = y²/3 .:. x = ± (√3/3)*y


Ainda:

|a-b| = 2√3 .:. |x+yi - (x-yi)| = 2√3 .:. |2yi| = 2√3 .:. 4y² = 12 .:. y²= 3 .:. y = ±√3

Assim:

x = (√3/3)*√3 .:. x = 1 --> x² = 1

Logo: |a| = √[ x² + y²] .:. |a| = √[ 1 + 3 ] = 2

Abraços,
Pedro
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(China) Números Complexos Empty Re: (China) Números Complexos

Mensagem por medock em Ter 29 Jul 2014, 16:01

Pedro Cunha, obrigado pela otima resolução, eu não estava conseguindo fazer a questão por não ter compreendido certo a questão, no momento que diz "são número complexos conjugados" fiquei na dúvida se era conjugados entre si ou os dois eram da forma: Z = x - yi. E acabei usando o segundo modo, então acabou dando errado, mas muito obrigado pela resolução.

medock
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