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Equação exponencial (2)

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Mensagem por rodrigoneves Seg 28 Jul 2014, 13:31

Resolver a equação:
4^x - 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} - 2^{2x-1}
gabarito:
Segundo o livro ela deveria ser resolvida simplesmente através da redução a uma base comum, mas tudo o que eu consegui foi:
2^{2x-3} = 3^{x-\frac{7}{2}}
Grato!

OBS: Me desculpem por estar postando duas questões de uma vez, sei que não é legal, mas realmente estou intrigado com estas  Neutral
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Mensagem por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 14:54

Olá, Rodrigo.

\\ 4^x - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x-1} \therefore 4^x + (2^{2x-1}) = 3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}} \therefore \\\\ 4^x + \frac{2^{2x}}{2} = 3^x \cdot \sqrt{3} + \frac{3^x}{\sqrt{3}} \therfore 4^x + \frac{4^x}{2} = 3^x \cdot (\sqrt3 + \frac{1}{\sqrt3} ) \therefore 4^x \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 3^x \cdot (\sqrt3 + \frac{1}{\sqrt3}) \therefore \\\\ \frac{4^x}{3^x} = \frac{\frac{4}{\sqrt3}}{\frac{3}{2}} \therefore \left( \frac{4}{3} \right)^x = \frac{8}{3\sqrt3} \therefore \left( \frac{4}{3} \right)^x = \frac{4^\frac{3}{2}}{3^\frac{3}{2}} \therefore \left( \frac{4}{3} \right)^x = \left( \frac{4}{3} \right)^\frac{3}{2} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = \frac{3}{2} }}

Att.,
Pedro

P.S.: Você estava quase certo. Ao chegar naquela igualdade, vale a seguinte regra: "igualdade entre bases diferentes, expoente nulo - pois qualquer número elevado a zero é 1 - ". No entanto, ela deveria ser 2^{2x-3} = 3^{x-\frac{3}{2} . Assim:

2x-3 = x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}
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Mensagem por rodrigoneves Seg 28 Jul 2014, 15:13

Muito obrigado novamente, Pedro! Analisando o que você disse no final, pergunto se posso concluir que:
a^{f(x)} = b^{g(x)} , com a ≠ b sendo números inteiros primos entre si; a equação só terá solução se os polinômios f(x) e g(x) tiverem raiz(es) em comum, certo? Abraços!
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Mensagem por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 15:30

Certamente que sim.
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