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Olimpíada dos EUA - Área do polígono

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Olimpíada dos EUA - Área do polígono Empty Olimpíada dos EUA - Área do polígono

Mensagem por medock Sex 25 Jul 2014, 00:30

Um polígono regular de n lados está inscrito em um círculo de raio R. A área do polígono é 3R². Então, n é igual a:

A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18

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Olimpíada dos EUA - Área do polígono Empty Re: Olimpíada dos EUA - Área do polígono

Mensagem por Luck Ter 29 Jul 2014, 01:29

O polígono regular é formado por n triângulos isósceles com dois lados R, e ângulo θ formado entre esses lados.
n = 2pi/θ (i)

a área do triângulo pode ser calculada por:
A = (absenθ)/2
A = R²senθ/2
como são n triângulos , S = nR²senθ/2
3R² = (nR²senθ)/2
n =  6/senθ

6/senθ = 2pi/θ (ii)
de (i) e (ii) :
senθ = 3θ/pi (iii)
de (iii) é fácil perceber que θ = pi/6 é solução, logo n = 6/(1/2) = 12
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