Inequações

por Johannes Dom 13 Jul 2014, 17:07

Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x² – 20x + 2m > 0, para todo x pertencente
ao conjunto dos reais, são dados por

a) m > 10. b) m > 25. c) m > 30.
d) m < 5. e) m < 30.

R.: A inequação 2x² – 20 . x + 2m > 0, é verificada para todo x ∈ R, se e somente se apresentar:
∆ < 0 ⇔ (– 20)² – 4 . 2 . 2m < 0 ⇔
⇔ 400 – 16 . m < 0 ⇔ m > 25

Porque utilizou-se ∆ < 0 se a pergunta pede "para todo x pertencente ao conjunto dos reais"?

por **Jose Carlos** Dom 13 Jul 2014, 19:25

Observe que o domínio da função é x E R mas para m > 25 ela será sempre positiva.

por **Elcioschin** Dom 13 Jul 2014, 19:31

A função mostrada é de uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Para a função ser sempre positiva (para qualquer valor de x) ela deve estar acima do eixo x.

Quando isto acontece a função NÃO tem raízes reais. Isto implica ∆ < 0

por Johannes Dom 13 Jul 2014, 19:40

Ah vlw!

por Êxodo Sousa Qua 29 Set 2021, 19:34

Mas como assim, não entendi, "para qualquer valor de x" não inclui os números negativos também?

por **Elcioschin** Qui 30 Set 2021, 15:39

Uma coisa nada a tem a ver com a outra:

Toda função do 2° grau tem por gráfico a parábola do tipo y = a.x² + b.x + c

Esta função tem por domínio o universo dos números reais, isto é, ela existe para qualquer valor real de x.

Existem 3 tipos principais de parábolas:

I) as que cortam o eixo x duas vezes; existem 2 raízes reais: ∆ > 0;

II) as que tangenciam o eixo x; raiz real dupla: ∆ = 0

III) as que não tocam o eixo x; raízes complexas: ∆ < 0 ---> ou a parábola está cima do eixo x (a > 0) ou está abaixo do eixo x (a < 0)

O que o enunciado exigiu foi o caso III

por Êxodo Sousa Sáb 02 Out 2021, 11:35

Entendi agora, muito obrigado!

por elssonconstancio@gmal.com Ter 26 Set 2023, 22:31

Então nesse tipo de questão tenho que pensar antes de tudo nas condições do delta ?

por elssonconstancio@gmal.com Ter 26 Set 2023, 23:12

Então nesse tipo de questão tenho que pensar antes de tudo nas condições do delta ?

por **Elcioschin** Qua 27 Set 2023, 09:57

Exatamente.
Calculamos as raízes: são os pontos onde o gráfico corta ou toca o eixo x (se as raízes forem reais) ou se o gráfico não corta o eixo x (raízes complexas)
Com o valor das raízes podemos determinar a imagem da função, isto é, em que intervalos a função é positiva ou negativa.