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UNICAMP esfera inscrita no cone

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Mensagem por luizamed Dom 06 Jul 2014, 10:29

UNICAMP
Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. 
DETERMINE a distância do vértice da cavidade à esfera.

resposta:6,4 cm

gente, tenho uma duvida, tentei resolver essa questão utilizando semelhança de triangulos
entre os triangulos V(vertice do cone) A (centro da base do cone) e AB (raio da base)
com o triangulo C (centro da esfera) T(tangencia da esfera com o cone) e V(o vertice do cone)
5/4=12/x  (x é a distancia CT) 
x=9,6 logo x menos o raio da esfera daria essa distancia procurada.. acontece que os calculos nao batem
o que estou errando??? Sad  Sad  Sad  Sad

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Mensagem por Elcioschin Dom 06 Jul 2014, 10:48

Cuidado:

O enunciado NÃO diz que a esfera tangencia a base do cone. Ela pode ter entrado totalmente e ainda existe uma distância d entre ela e a base

Assim, você não pode fazer a semelhança que você fez

Um dado que você esqueceu de calcukar foi a geratriz g do cone ---> g² = H² + R² = 12² + 5² ----> g = 13

Refaça o seu desenho e tente novamente
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Mensagem por luizamed Dom 06 Jul 2014, 17:09

desculpe... nao consigo esse problema!! Sad((
bloqueio com essa questão de tanto que tentei!!!!!

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Mensagem por PedroCunha Dom 06 Jul 2014, 18:30

Luiza, veja a seguinte solução do colega Ittalo25 , do TutorBrasil:

Primeiramente, vamos achar a geratriz (g) do cone:

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Então, por semelhança dos dois triângulos retângulos da imagem, temos:

UNICAMP esfera inscrita no cone Mimetex

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Descontando o raio da esfera, para que fique apenas o tamanho da linha vermelha:

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Mensagem por Elcioschin Seg 07 Jul 2014, 09:54

Pedro

A figura que você postou constava da prova da UNICAMP ?

Porque, como eu disse anteriormente, no enunciado não fica claro que a esfera tangencia a base do cone. Assim, se a figura constava e não foi colocada no fórum pela luizamed, tudo bem: a figura esclarece isto.

Agora, se não constava, a prova da UNICAMP tem uma séria falha  no enunciado, ao não esclarecer isto

Não entendi a semelhança de triângulos da solução, pois não existe, na figura, nenhum triângulo retângulo com hipotenusa x (a hipotenusa do triângulo menor da figura é x+4)

Assim, o correto é:

13/(x + 4) = 5/4 ---> x = 6,4
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Mensagem por PedroCunha Seg 07 Jul 2014, 11:25

Não constava, Élcio.

Vou alertar o autor do erro e corrigir o mesmo no tópico no TutorBrasil.

Obrigado pelo aviso, Élcio.
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Mensagem por Medeiros Seg 07 Jul 2014, 15:25

Élcio,
na figura apresentada pelo Pedro, "x" é o segmento que vai do vértice 'A' do cone até o centro da esfera. Tanto é assim que, depois, a resolução desconta de 'x' o valor do raio.

Observo que a esfera não fica totalmente inserida no buraco cônico; ao contrário, fica com uma calota acima do nível da base.
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Mensagem por luizamed Ter 08 Jul 2014, 14:16

olá!! muito obrigada gente!!
e  quanto a figura, não constava!
e agora entendi elcio!! o que vc quis dizer!!
nao tem como saber se a esfera encosta na base do cone pra considerar como 5 o cateto na semelhança!!
muito confusa essa questao!!

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Mensagem por Lauser Qui 10 Set 2015, 08:42

UNICAMP esfera inscrita no cone D+uV0nhUYCncgAAAABJRU5ErkJggg==Na minha apostila está assim
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Mensagem por Medeiros Qui 10 Set 2015, 12:25

Lauser,
como se trata de uma "cavidade", sabemos que o vértice fica para baixo; mas isso não influi na resolução uma vez que tenhamos entendido a questão.

Aproveitando este desenho, repito as soluções do Pedro e do Élcio.

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