Determinantes
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Determinantes
Sejam A= (aij) uma matriz real quadrada de ordem 2 e I₂ a matriz identidade também de ordem 2. Se r₁ e r₂ são as raízes da equação det(A - rI₂) = nr, onde n é um número inteiro positivo, podemos afirmar que:
a) r₁ + r₂ = a₁₁ + a₂₂
b) r₁ + r₂ = -(a₁₁ + a₂₂)
c) r₁ + r₂ = n. (a₁₁ + a₂₂)
d) r₁.r₂ = det A
e) r₁.r₂ = -n. det A
PS: eu não tenho o gabarito, eu resolvi a questão e acredito que a alternativa correta seja a (d), porém não tenho certeza se resolvi corretamente. Alguém poderia, por favor, tirar essa minha dúvida. Grata!
a) r₁ + r₂ = a₁₁ + a₂₂
b) r₁ + r₂ = -(a₁₁ + a₂₂)
c) r₁ + r₂ = n. (a₁₁ + a₂₂)
d) r₁.r₂ = det A
e) r₁.r₂ = -n. det A
PS: eu não tenho o gabarito, eu resolvi a questão e acredito que a alternativa correta seja a (d), porém não tenho certeza se resolvi corretamente. Alguém poderia, por favor, tirar essa minha dúvida. Grata!
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Re: Determinantes
A - rI = ( a11---a12 )-------( r----0 )
--------( a21---a22 )-------( 0----r )
A - rI = ( a11-r---a12 )
--------( a21---a22-r )
det(A - rI) = nr
(a11-r)(a22-r) - a21a12 = nr
a11a22 -a11r - a22r + r² - a21a12 = nr
r² - (a11+a22-n)r + (a11a22 -a21a12) = 0
por girard:
r1 + r2 = a11 +a22 - n
r1r2 = a11a22 -a21a12 ∴ r1r2 = detA
letra d).
--------( a21---a22 )-------( 0----r )
A - rI = ( a11-r---a12 )
--------( a21---a22-r )
det(A - rI) = nr
(a11-r)(a22-r) - a21a12 = nr
a11a22 -a11r - a22r + r² - a21a12 = nr
r² - (a11+a22-n)r + (a11a22 -a21a12) = 0
por girard:
r1 + r2 = a11 +a22 - n
r1r2 = a11a22 -a21a12 ∴ r1r2 = detA
letra d).
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